Date due serie di dati,  x_n   e    y_n , si può analizzare la loro reciproca dipendenza (o, al contrario, la loro indipendenza) con  metodi derivati dall'analisi statistica. Quale esempio si considerino i dati di peso corporeo e di altezza relativi a ciascuno degli  N  individui di una popolazione.

Ipotizzando una relazione lineare fra i dati delle due serie, si possono  così calcolare i parametri  che definiscono una retta rappresentante idealmente l'andamento di una delle variabili rispetto all'altra.

Questo procedimento  è noto come  analisi di regressione lineare.

Ovviamente, anche quando questa relazione esiste, i dati possono non essere allineati su una retta (per effetto di una certa casuale distribuzione dei valori), quindi si tratta di stabilire un criterio che minimizzi gli scostamenti dei dati reali dalla retta ideale.

Il criterio maggiormente seguito è  quello del minimo scostamento quadratico medio, cioè di rendere minima la somma degli scostamenti fra ogni punto (definito dai valori di x e y  corrispondenti allo stesso indice n) e la retta stessa.

Risulta intuitivo che esiste una reciprocità di dipendenza a secondo che si consideri come variabile indipendente la  x  oppure la  y : nel primo caso è

y = a·x + b, con  a   e   b  i parametri cercati, dove a  è la pendenza della retta e  b  l'intercetta per  x=0.

La Fig.27.1a mostra i passaggi algebrici che consentono di ricavare tali parametri.  Per minimizzare la sommatoria dei quadrati delle differenze, si sviluppa questa espressione e si uguagliano a zero la derivate parziali rispetto ad  a ed a  b.

Un esempio numerico, con  N = 100 dati, permette di verificare il metodo.

La serie di dati y_n, è ricavata con parametri noti a priori, ma vengono introdotti  disturbi  (d_n) fino al 25%, come si può vedere dal grafico.

Malgrado ciò, i valori stimati (as  e  bs) non si discostano significativamente da quelli utilizzati per stabilire i valori di y .

La Fig.27.1b mostra invece gli stessi calcoli utilizzando  le funzioni statistiche,  in particolare  la media aritmetica (m).

Per quanto  già accennato, in generale  vi sarà una differenza se come variabile indipendente si considera la  x  o  la  y, cioè se si cerca la regressione di   y  rispetto a  x  o viceversa  di   x  rispetto a  y  (in altre parole i coefficienti  ayx  e  byx, oppure  axy  e  bxy).

Quindi si potranno avere due rette y = ayx · x + byx   e  x = axy · y  +  bxy distinte.

Il legame fra  x  e  y sarà tanto più probabile quanto più coincidenti saranno queste due rette, e il parametro che esprime questa dipendenza è

detto  coefficiente di correlazione  (r) , ed è dato dalla radice quadrata del prodotto delle due pendenze. 

Fig.27.1a   -   Metodo di regressione lineare fra due serie di dati.

Fig.27.1b   -    Calcolo  di regressione e correlazione con funzioni statistiche  Mathcadâ.

Poichè  nel caso di massima corrispondenza le due pendenze dovrebbero risultare  inverse (una relativa all’asse x  e l’altra relativa all’asse y), il massimo di  r  è uguale ad 1

Nel caso di indipendenza delle due serie di dati, le relative rette di regressione risulterebbero perpendicolari fra loro, quindi   r  tenderebbe a zero.

Il calcolo con  Mathcadâ è facilitato dall'uso di speciali funzioni statistiche, che corrispondono a importanti concetti e che quindi meritano di essere approfonditi.

Oltre alla ben nota media aritmetica ( mx = mean(x), in Mathcadâ)  è importante il concetto di  varianza  ( var(x) ), che esprime la distribuzione dei dati attorno alla media ed è definita appunto dalla sommatoria dei quadrati delle differenze di ciascun dato rispetto alla media.

La radice quadrata della varianza  esprime la ben nota  deviazione standard  ( stdev(x) ), valore  che ha un particolare significato se la distribuzione dei dati è di tipo  ‘gaussiano' (cioè con un andamento a forma di campana attorno al valor medio), come normalmente assunto in fenomeni casuali.

Quando si hanno due serie di dati, come considerato nelle  Fig.27.1a  e  b, è anche importane il concetto di  covarianza  ( cvar(x,y)  ), che esprime la sommatoria dei prodotti delle singole differenze dei dati rispetto alle relative medie (vedi  Fig.27.1b, che riporta le singole funzioni ed il loro sviluppo secondo le definizioni).

Va infine segnalato che se il problema è limitato alla ricerca delle retta di regressione e alla valutazione della correlazione, il  Mathcadâ  dispone delle funzioni dirette, quindi è possibile utilizzare semplicenente slope(x,y),   intercept(x,y)   e   corr(x,y)  per ricavare i rispettivi valori.

Se la relazione che lega le due serie non fosse di tipo lineare, il Mathcadâ potrebbe ancora essere utilizzato per valutare regressioni quadratiche (paraboliche) o cubiche, e persino  funzioni generali predefinite.

Quello che però interessa più strettamente l'elaborazione dei segnali è il caso in cui le coppie di valori  x_n  e   y_n  sono valori  rilevati al tempo t_n  (cioè  con  t_n = n·Dt ), caso in cui  la correlazione assume significati particolari.

La  Fig.27.2  mostra  la generazione di due segnali impulsivi di periodo  k1·Dt , con un ritardo  di  k2·Dt  del secondo (y) rispetto al primo (x).

Se ora si fa la sommatoria dei prodotti dei due segnali per ciascun intervallo di campionamento  ed estesa ad un periodo   M·Dt ,  si nota  un massimo in corrispondenza di  k2. Ciò significa che mediante la correlazione è possibile rilevare il ritardo fra due forme d'onda simili.

Ovviamente il calcolo delle sommatorie deve essere esteso ad un periodo che comprenda il ritardo, ed il fatto che si considerino i prodotti dei valori di entrambi i segnali (prodotti ‘incrociati') dà il nome di  crosscorrelazione a tale calcolo.

Si può osservare anche che se al posto del secondo segnale si utilizzano i valori dello stesso, si ottiene un' autocorrelazione.  Il risultato è che si ottiene il massimo in corrispondenza del periodo del segnale stesso, cioè  k1.

Queste semplici osservazioni sono la base di importantissime  applicazioni nell'elaborazione dei segnali: basti pensare agli ecoscandagli, dove segnali sonori permettono la misura dei fondali marini, ma anche ai radar, dove gli echi di segnali elettromagnetici permettono la localizzazione di ostacoli,  fino ai più recenti misuratori di velocità basti sui laser, ed ai localizzatori satellitari (GPS).

La  Fig.27.2b riporta lo sviluppo dei calcoli necessari per trovare l'andamento della crosscorrelazione, utilizzando le definizioni illustrate nella Fig.27.1b. 

Si deve però osservare che il numero n di dati considerato è  N-M  e che la procedura è ripetuta per  M volte, con l'indice  m=0..M-1.

Quindi i primi  N-M  dati di  x vengono moltiplicati  per lo stesso numero di dati di  y, iniziando però la serie dall'  m-esimo  dato.

Nel caso esaminato, data l'uguaglianza di  y  rispetto ad  x (salvo il ritardo)  risulta che la crosscorrelazione  è massima   (cxy = 1) in corrispondenza di  m = 3, cioè del ritardo  k2, come indicato dal grafico.

Se al posto di  y  si  mettesse  x , si avrebbe un'autocorrelazione e quindi risulterebbe  cxx = 1  in corrispondenza di  m = 7 , cioè del periodo  k1, come del resto già visto in linea di principio nella  Fig.27.1b. 

Osservando in  Fig.27.2b il calcolo della covarianza si nota che la  sua struttura è simile  a quella della convoluzione, quindi è spontaneo pensare che questo procedimento (lunghe sommatorie di prodotti) possa essere semplificato passando nel dominio delle frequenze, cioè utilizzando le trasformate di Fourier.

La   Fig.27.3  mostra questo metodo, in cui vengono moltiplicati fra loro solo i singoli coefficienti delle varie frequenze ( X_f  e Y_f ) per poi antitrasformare il risultato.

La correlazione  c  è poi rappresentata in un grafico in funzione del ritardo rilevato fra le due serie: la scala di questo (r_n)  è funzione lineare del tempo, ed in questo caso è stata ricavata empiricamente.

Per approfondire questo metodo, che ha importanti applicazioni pratiche, è però opportuno introdurre i concetti di  potenza di un segnale  e degli  spettri  di  potenza.