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Indice

1 Abstract
2 Introduzione
3 Configurazioni 2D notevoli
4 Configurazioni 3D

Abstract

Cinque chiacchiere sulle reti puramente resistive.

Introduzione

Da quando George Simon Ohm nel 1826 pubblica nel suo lavoro "Versuch über einer Theorie der durch galvanische Kräfte hervorgebrachten elektroskopischen Erscheinungen." e successivamente nel piu' famoso documento del 1827 "Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet", la famosa legge I=V/R (o come la scrive George S=A/L), la resistenza elettrica ne ha scritta di storia dell'Elettrotecnica.

Chi frequenta questo portale ne ha viste di "R" maiuscole sui libri di scuola fin dai primi corsi di Fisica delle superiori.

Tentero' in questo articolo di riassumere quello che abbiamo studiato cercando di approfondire qualche caso particolare.

Basi

Useremo sia la resistenza che la conduttanza a seconda della convenienza di calcolo. Molte delle considerazione qui svolte potranno essere estese a reti di impedenze e ammettenze. Le relazioni di base fra queste grandezze sono come noto le seguenti:

$G=\frac{1}{R}\,\,\,;\,\,\,Y=\frac{1}{Z}=\frac{1}{R+jX}=G+jB\,\,\,\,\,\,\, con$

$G=\frac{R}{R^{2}+X^{2}}\,\,\,,\,\,B=-\frac{X}{R^{2}+X^{2}}$

Resistenze, reattanze e impedenze in ohm; conduttanze, suscettanze e ammettenze in siemens.

Nella serie e nel parallelo sappiamo che la Req e la Geq si calcolano rispettivamente con

$R_{eq}=\sum\limits_{1}^{n}{R_{i}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,G_{eq}=\sum\limits_{1}^{m}{G_{j}}$

e diamo per scontata la conoscenza dei principi di Kirchhoff.

$\sum\limits_{{}}{V_{ij}}\,\,=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sum\limits_{{}}^{{}}{I_{k}}=0$

Simmetria

I metodi risolutivi generali possono, a volte, essere semplificati con considerazioni di simmetria.

La rete puo' risultare simmetrica rispetto ad un punto "simmetria centrale", ad una retta "simmetria assiale" ed infine rispetto ad un piano "simmetria speculare".

Per cominciare con due esempi elementari ricordiamo come, nei partitori di tensione e di corrente formati da due resistenze di uguale valore, la d.d.p. applicata e la corrente iniettata si dividano esattamente in due parti uguali. La Req = 2R nel primo e Req= R/2 nel secondo.

La ricerca della simmetria puo' essere forzata in alcuni casi particolari anche in presenza di resistenze di diverso valore, ma multiple di un valore base. Se per esempio abbiamo 1 e 3 ohm in parallelo, potremo scomporre la resistenza da 1 ohm in tre da 3 ohm in parallelo. La simmetria ci permettera' ora di trovare la soluzione: Req=3/4.

e ancora fra 1/5 e 1/3 di ohm in (5 da 1) + (3 da 1) = 8 resistenze da 1 ohm -> Req=1/8 ohm.

Passando ad una rete piu' complessa cerchiamo di applicare quanto detto.

Notiamo come esista una simmetria rispetto ad un asse mediano verticale dalla quale discende l'uguaglianza dei potenziali dei punti 1 e 2. In questa situazione ci sono due possibili percorsi risolutivi: il primo consiste nel sostituire la resistenza 1-2 con un corto circuito, il secondo con un circuito aperto.

Mentre il primo caso a) non porta ad una soluzione immediata, con b) avremo

$R_{eq}=\left[ (R||2R)+2R \right]||2R=\left[ \left( \frac{2R}{3} \right)+2R \right]\,||2R=\left( \frac{8R}{3} \right)||2R=\frac{8R}{7}$

[1]Joe Rosen,Symmetry rules: how science and nature are founded on symmetry,2008.

Configurazioni 2D notevoli

Trasformazioni stella poligono

Trasformazione stella-triangolo e triangolo-stella; una delle piu' utili per l'elettrotecnica visto che nei sistemi trifasi, il triangolo e la stella rappresentano i due tipi di collegamento piu' comuni.

fig. 1

Le relazioni che permettono la trasformazione si ricavano risolvendo un sistema a 3 equazioni e 3 incognite. Ogni equazione e' scritta uguagliando le conduttanze/resistenze equivalenti viste fra le 3 coppie di morsetti AB BC CA (da stella a triangolo conviene preliminarmente cortocircuitare 2 morsetti e uguagliare le conduttanze fra gli estremi):

$\left\{ \begin{align} & G_{AC}+G_{BC}=\frac{G_{C}(G_{A}+G_{B})}{G_{A}+G_{B}+G_{C}} \\ & G_{AB}+G_{AC}=\frac{G_{A}(G_{B}+G_{C})}{G_{A}+G_{B}+G_{C}} \\ & G_{AB}+G_{BC}=\frac{G_{B}(G_{C}+G_{A})}{G_{A}+G_{B}+G_{C}} \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{align} & R_{A}+R_{B}=\frac{R_{AB}(R_{BC}+R_{CA})}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}} \\ & R_{B}+R_{C}=\frac{R_{BC}(R_{CA}+R_{AB})}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}} \\ & R_{C}+R_{A}=\frac{R_{CA}(R_{AB}+R_{BC})}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}} \\ \end{align} \right.\,\,\,$

il primo per $Y\,\,\to \,\,\,\Delta \,\,\,\,\,\,\,\,$ ____________________________ il secondo per $\Delta \,\,\to \,\,\,Y\,\,\,$

che risolti forniranno rispettivamente:

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,G_{xy}=\frac{G_{x}\cdot G_{y}}{\sum\limits_{1}^{3}{G_{k}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R_{z}=\frac{R_{zi}\cdot R_{zj}}{\sum\limits_{1}^{3}{R_{ij}}}\,\,\,\,\,$

Da una stella a n punte a poligono (per es. n=4), si deve ricordare che, mentre la trasformazione diretta e' univoca, quella inversa e' possibile solo se i lati sono 3. La ragione e' evidente considerando che, se la stella ha n lati, il poligono completo ne ha $\frac{n(n-1)\,}{2}\,$ e quindi nella trasformazione inversa ci sarebbero piu' equazioni che incognite.

fig. 2

La generica conduttanza del poligono si calcola ancora con:

$G_{ij}=\frac{G_{i}\cdot G_{j}}{\sum\limits_{1}^{n}{G_{k}}}$

Se esiste una simmetria centrale le relazioni sopra scritte si semplificano nelle

$G_{eq}=\frac{G}{n}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R_{eq}=\frac{R}{n}\,\,\,\cdot \,\,\,\,\,$

Rete a scala (ladder network).

Consideriamo ora una serie di resistenze e conduttanze collegate come in fig.3.

fig.3

Usando successive trasformazioni serie-parallelo si perviene facilmente alla seguente frazione continua:

$R_{AB}=R_{1}+\cfrac{1}{G_{2}+\cfrac{1}{R_{3}+\cfrac{1}{G_{4}+\cfrac{1}{R_{5}+\cfrac{1}{G_{6}+\cfrac{1}{.....}}}}}}$

Se la rete e' composta da un numero limitato di elementi basteranno alcuni calcoli per risolvere il problema ma il discorso comincia a diventare difficile se si intende analizzare il caso particolare di rete infinita.

In questo caso si considera normalmente la semplificazione: R=R1=R3=R5 ... e G=G2=G4=G6 ... che porta a risultati comunque notevoli.

I metodi per calcolare la resistenza equivalente sono molteplici, ma quello piu' rapido consiste forse nel notare che la resistenza presentata dal circuito di fig.4, a destra di K, e' la stessa di quella a destra di H e quindi possiamo scrivere

$R_{eq}=R\,\,+\left( \frac{1}{G}||R_{eq} \right)\,\,\,\,\,\to \,\,\,\,\,R_{eq}=R\,\,+\frac{R_{eq}\frac{1}{G}}{R_{eq}+\frac{1}{G}}$

fig. 4

risolvendo si otterra'

$R_{eq}=\frac{R\pm \sqrt{R^{2}+4R/G}}{2}=\frac{R}{2}\left[ 1\pm \sqrt{1+\frac{4}{RG}} \right]$

che nel caso particolare di R=1/G si semplifica in:

$R_{eq}=\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)R\approx 1,618033989\,R$

mettendo in evidenza che il rapporto Req / R di una rete a scala e' inaspettatamente pari alla famosissima sezione aurea o "Divina proporzione" .

Lo possiamo verificare anche con un semplice script Scilab

format('v',15)
R=1; G=1; Req =2; // partiamo dal fondo 
for i=1 : 1000
 Req =1+1/(G+1/Req );
  if (i<10) | (i==100) | (i==1000) then  i, Req
  end
end

che fornisce

-->  i  =    1.        Req  =    1.666666666667
     i  =    2.        Req  =    1.625
     i  =    3.        Req  =    1.619047619048
     i  =    4.        Req  =    1.618181818182
     i  =    5.        Req  =    1.618055555556
     i  =    6.        Req  =    1.618037135279
     i  =    7.        Req  =    1.618034447822
     i  =    8.        Req  =    1.618034055728
     i  =    9.        Req  =    1.618033998522
     i  =    100.      Req  =    1.61803398875
     i  =    1000.     Req  =    1.61803398875

notiamo come la convergenza sia rapida; gia' al sesto livello siamo a 2 ppm dal valore limite.

Le considerazioni fatte sulla "ladder network" si possono estendere sostituendo impedenze e ammettenze a resistenze e conduttanze

$Z_{eq}=\frac{Z}{2}\left[ 1\pm \sqrt{1+\frac{4}{ZY}}\, \right]$

che, se in particolare |ZY|<<1, si semplifica in $Z_{eq}\approx \sqrt{Z/Y}\,$ . Un esempio importante di questo tipo di rete e' la linea di trasmissione ideale. Nel caso di linee di trasmissione senza perdite, scomponendo in una successione di impedenze infinitesime dZ=sLdx e dY=sCdx (L e C indicano in questo caso valori specifici), la condizione |dZdY|<<1 e' strettamente verificata; ne segue una $Z_{eq}=\sqrt{L/C}\,$ puramente resistiva, che viene detta impedenza caratteristica.

Per esempio per un cavo coassiale, detti r1 e r2 rispettivamente il raggio interno ed esterno, puo' essere calcolata con

$C=\frac{2\pi \varepsilon }{\ln \frac{r_{2}}{r_{1}}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,L=\frac{\mu }{2\pi }\ln \frac{r_{2}}{r_{1}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,R_{0}=Z_{eq}=\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\mu }{\varepsilon }}\ln \frac{r_{2}}{r_{1}}$

Ci rimane un ultimo dubbio: ma ... "che ci azzecca" una Z puramente resistiva per una rete costituita da sole L e C ?

Qui ... ci sarebbero da dire un sacco di cose ... forse in un prossimo articolo ?

Concludiamo col notare che in effetti una rete di trasmissione infinita di questo tipo sarebbe un "buco nero" per l'energia. Nella realta' avremo pero' a che fare con un cavo di lunghezza finita (x metri) alla fine del quale, per farlo corrispondere al "buco nero", collegheremo una resistenza pari all'impedenza caratteristica che simulera' la parte mancante ( $\infty -x$ metri) e dissipera' la potenza in arrivo.

Per approfondire :

[1] Linee di trasmissione e adattamento.

[2] Fourier transform solution to the semi-infinite resistance ladder.

Rete a griglia (infinita).

Un'altra interessante configurazione di resistori e' la rete a griglia. La resistenza equivalente cercata e' in questa configurazione quella esistente fra due generici punti della rete e come si intuisce la sua determinazione non sara' per nulla semplice.

Prenderemo inizialmente in considerazione le resistenza presentata fra i punti A B di fig. 5 usando la sovrapposizione degli effetti . A questo punto molti di voi penseranno ... "ma quale sovrapposizione se non ci sono generatori ? " ... in effetti il generatore ce lo mettiamo noi, di corrente!

Supponiamo di iniettare nel punto A una intensita' di corrente di 1 ampere e notiamo come "per la simmetria della rete" la corrente si debba dividere in quattro parti uguali , pari a 1/4 di ampere per ogni resistenza R connessa ad A. La d.d.p. ai capi della R fra A e B sara' quindi V'AB = 0,25 V. Ripetiamo il ragionamento supponendo di estrarre la stessa corrente di 1 ampere da B; in questo caso la corrente confluira' in B con 4 contributi uguali sulle 4 resistenze (sempre per simmetria) con una nuova V"AB = 0,25 V. Non ci resta che sommare i due effetti per ottenere il risultato cercato

$V_{AB}=V_{AB}^{'}+V_{AB}^{''}=0,25+0,25=0,5\,\,V$

e quindi anche $R_{AB}=0,5\,\,\Omega$

fig. 5

Possiamo anche affrontare il problema con il calcolo numerico attraverso una modifica allo script per la risoluzione reti dell'articolo Simulazioni reti in Scilab che riporto qui modificato.

(La parte fra gli asterischi serve per definire i collegamenti fra i nodi della griglia)

 //-------- Calcolo numerico Req griglia resistori ------------ 
//--------------------------------------------------------------------------------
clear, clc,   format('v',8); j=%i; k0=%pi/180;
//n=x_dialog(["Dimensione griglia n=?"],"10");
for esp=1:8;
 n=4*esp;// griglia nxn  n=4,8,12,16,20,24,28,32
 ele=2*n*(n-1); // numero lati rete
 m=zeros(ele,5); m(1:$,4)=1; // metto le R=1 in colonna 4
 // --- scelgo i nodi  A  e  B
 DIAG=0;// <-----------------------DIAG=n   X PUNTI in DIAGONALE
 nA=(n-1)*n/2;  nB=(n-1)*n/2+DIAG+1;
 m(ele+1,2)=nA;m(ele+1,1)=nB;m(ele+1,5)=1;
 nr=1;//trovo coppie nodi base  e formo matrice della griglia nxn
//************************************************
 for k=1:n ; 
   for y=1:n ;
     fh=n*(k-1)+y; 
         if y<n   m(nr,2)=fh+1; m(nr,1)=fh ;
         else nr=nr-1;
         end 
       if k<n  m(nr+1,1)=fh; m(nr+1,2)=fh+n;
       else nr=nr-1;
       end
    nr=nr+2;   
   end
 end
//*******************************************
  y= real(m(:,1:2));   nn=max(y);  nr=size(m,1);
s=0;
  for i=1 : nr
    s = (m(i,5)== 0)&(m(i,4)==0)+s;
  end; neq=nn+s ;  
A=zeros(neq,neq); b=zeros(neq,1); I=zeros(nr,1);
r = 1;// costruisco matrice A() e vettore b()
for k=1 : nr
 q=y(k,1); w=y(k,2); E=m(k,3); Z=m(k,4); J=m(k,5); 
  if J<>0 then  
        b(q)=b(q)+J;    b(w)=b(w)-J;
       elseif Z<>0 then  
  A(q,q)=A(q,q)-1/Z; A(w,w)=A(w,w)-1/Z;
  A(q,w)=A(q,w)+1/Z; A(w,q)=A(w,q)+1/Z;
  b(q)=b(q)+ E/Z; b(w)=b(w)- E/Z;
           else  
  A(nn+r,q)=-1;    A(nn+r,w)=+1; b(nn+r)  = E;
  A(q,nn+r)=-1; A(w,nn+r)=+1;  r=r+1;
      end 
  end 
     A2=A([2:$],[2:$]); b2=b([2:$],1); 
   V2 = A2\b2;      V=[0;V2];  
Req=V(nA)-V(nB);
printf("\n n=%f,  Req=%f\n ",n,Req)
end

L'output e' stato effettuato per una complessita' crescente da 4x4 a 32x32 nodi ed e' il seguente:

n=4     Req=0.544643
n=8     Req=0.509093
n=12    Req=0.503903
n=16    Req=0.502170
n=20    Req=0.501381
n=24    Req=0.500956
n=28    Req=0.500701
n=32    Req=0.500536

Si nota la progressiva convergenza verso il valore limite di 0.5 ohm.

Uno script alternativo per Matlab ma facilmente adattabile a Scilab.

Completamente diverso deve essere l'approccio al problema nella ricerca della resistenza fra A e C; si deve in questo caso ricorrere ad una soluzione di tipo integrale che e' anche la soluzione generale al problema. Infinite 2D square grid of resistors. ma possiamo risolverlo in forma numerica modificando lo script sopra riportato; cambiando

da DIAG=0  a DIAG=n

L'output sara'

n=4     Req=0.714286
n=8     Req=0.654216
n=12    Req=0.644314
n=16    Req=0.640924
n=20    Req=0.639368
n=24    Req=0.638525
n=28    Req=0.638019
n=32    Req=0.637690

e anche in questo caso si conferma la tendenza verso il valore limite 2/pi pari a Req=0.63662 ohm.

Solo per chi volesse andare a fondo... nel problema Infinite resistive lattices.

Il nostro script puo' dare una stima numerica dei risultati della tabella 1 pag.487 del documento, cambiando il valore assegnato a GRID: con GRID=0 ->(n=0,p=1) , con GRID=1 ->(n=0,p=2), GRID=n ->(n=1,p=1) e GRID=n+1 -> (n=1,p=2) "knight move". Si sottolinea che distanziando A da B i risultati sono sempre piu' imprecisi per il minor rapporto DimensioneGriglia/DistanzaAB.

.

Configurazioni 3D

Cubo di resistenze

E passiamo alle configurazioni tridimensionali.

Incominciamo con la piu' semplice, un cubo che presenta una resistenza su ogni spigolo.

fig. 6

Come al solito ricerchiamo la resistenza presentata fra i nodi A e B. Ci accorgiamo subito che la rete puo' essere stesa su un piano e anche se di primo achito ci potrebbe sembrare facilmente risolvibile con alcune trasformazioni, bastano un paio di tentativi per farci cambiare idea.

fig.7

In effetti risolvere la rete in generale non e' per nulla semplice, se pero' supponiamo le 12 resistenze tutte uguali, il calcolo si semplifica notevolmente.

Supponiamo come al solito di usare un generatore di corrente per iniettare in A la corrente di 1 ampere; la corrente si divide per simmetria in 3 parti uguali, portando i punti 1, 2 e 3 allo stesso potenziale; discorso analogo per il nodo B di uscita e quindi anche i punti 4 5 6 avranno lo stesso potenziale.

Punti allo stesso livello elettrico possono essere collegati fra loro e quindi le 3 resistenze A-1,A-2,A-3 sono in parallelo come anche le 4-B,5-B,6-B ed infine le rimanenti 6, essendo connesse fra i 2 piani conduttivi passanti per 1-2-3 e per 4-5-6, sono ancora in parallelo fra loro.

Ne segue

$R_{eq}=\frac{R}{3}+\frac{R}{6}+\frac{R}{3}=\frac{5}{6}R$

Semplice e' pure il calcolo della Req fra i punti A e 6; in questo caso R52 e R41 sono eliminabili; collegando 4 con 5 otteniamo

$R_{eq}=2R||3R||2R=\frac{3}{4}R$

Leggermente piu' complessa la Req fra due nodi contigui, per esempio fra A e 2; esiste ancora una simmetria rispetto al piano passante per A 2 4 B e quindi avranno lo stesso livello 1 e 3 come anche 6 e 5. Schiacciato il cubo su questo piano unendo 1 con 3 e 6 con 5 avremo

$R_{eq}=\left( 2R||\frac{R}{2}+R \right)||R=\frac{7}{12}R$

Solidi platonici

Si puo' estendere l'uso della simmetria ad altri solidi platonici, sempre considerando Req fra A e B e resistenze tutte uguali a 1 ohm.

fig. 9

a) per il tetraedro Req = R/2 (eliminabile resistenza 1-2 )

b) per l'ottaedro Req =R/4+R/4=R/2 (eliminabili le 4 resistenze della cintura)

c) per icosaedro Req=R/5+R/10+R/5=R/2 (eliminabili le 10 resistenze delle 2 cinture)

d) per il dedecaedro il discorso sembra piu' complesso ...

Ricordando quanto possibile con la configurazione cubica e la simile condizione di simmetria in A e in B, proviamo a stendere anche la rete di resistori del doecaedro su un piano

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ma come per il cubo, la semplificazione, pur possibile per alcune coppie di nodi, non permette di giungere in generale ad una facile soluzione e ci rendiamo conto che e' meglio lasciar perdere.

Non ci resta che cercare un aiuto numerico e quindi numerati i nodi, usare il nostro script multiuso per Scilab .

fig. 11

Per misurare una resistenza dobbiamo conoscere tensione e corrente. Inseriamo quindi, come sempre, il generatore di corrente collegandolo fra i punti 2 e 1 del dodecaedro. Fissata la corrente a 1 ampere ed essendo il punto 1 convenzionalmente a potenziale zero, il potenziale del punto 2 sara' pari alla resistenza equivalente cercata.

V2 = Req

Lanciamo lo script e dall' Editor inseriamo i rami in una qualsiasi sequenza, nel formato q,w,E,R,J. Per i piu' pigri bastera' un copia-incolla della sequenza numerica sotto riportata:

   //-----nodo-------generatore-----impedenza-----generatore---
  // inizio| fine |   tensione    (o resistenza)   corrente
 //   q    |   w  |      E       |      Z       |     J       |
//-------------------------------------------------------------
    1, 9,0,1,0;
    1,10,0,1,0;
    1,12,0,1,0;
    4,10,0,1,0;
    3, 4,0,1,0;
    3, 9,0,1,0;
    3, 5,0,1,0;
    4, 6,0,1,0;
    7, 6,0,1,0;
    5, 7,0,1,0;
    5, 8,0,1,0;
    8,14,0,1,0;
   14,15,0,1,0;
   15,17,0,1,0;
   16,17,0,1,0;
   16,20,0,1,0;
   17,11,0,1,0;
   19,11,0,1,0;
    6,20,0,1,0;
   19,20,0,1,0;
   10,19,0,1,0;
    9,13,0,1,0;
   13,18,0,1,0;
   12,18,0,1,0;
   18,15,0,1,0;
   12,11,0,1,0;
    8,13,0,1,0;
    1, 2,0,0,1;
   14, 2,0,1,0;
    7, 2,0,1,0;
   16, 2,0,1,0
 ];

Nell'input sono stati inseriti per primi i 3 rami relativi al punto 1 e per ultimi i 3 rami relativi al punto 2 per far notare come, una volta ottenuto l'output da Scilab siano possibili ulteriori considerazioni. Per ragioni di spazio non riporto tutti i 20 potenziali e le 30 correnti in uscita ma solo:

V(1) = 0, V(2) = 1,167 e quindi Req = 1,167 ohm

Riguardando l'output completo di Scilab possiamo notare che i potenziali dei punti 3, 13, 18, 11, 19 e 4 sono uguali come pure quelli dei nodi 5, 6, 20 17, 15 e 8 ! Sono eliminabili i lati 3-4 , 19-11, 13-18 e anche 5-8, 15-17, 6-20.

La soluzione era quindi immediata anche in questo caso ed il risultato pari a

$R_{eq}=\frac{R}{3}+\frac{3R}{6}+\frac{R}{3}=\frac{7}{6}R$

ovvero, generalizzando, la resistenza equivalente fra due vertici opposti, individuati gli N+1 piani di simmetria trasversali all'asse, dei quali il primo per i=0 e l'ultimo per i=N degeneri, corrispondenti ai punti terminali di misura, e gli ni resistori che collegano il piano i al piano i-1, può essere scritta come

$R_{eq}=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{R}{n_{i}}}$

.... come al solito sono andato un po' lungo :(

... ma la "storia" continua su Resistenze e simmetria 2

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Resistenze e Simmetria 1

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