ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Indice

1 Abstract
2 Introduzione
3 Ciclo di isteresi
4 Calcolo
5 Analisi FEMM e Grafica
6 Riferimenti

Abstract

Da una discussione del forum di Elettrotecnica, un esempio di calcolo per un circuito magnetico con magnete permanente.

Introduzione

Si affronta in questo articolo, un argomento molto spesso trascurato o considerato come marginale da molti testi e corsi di Elettrotecnica; i circuiti con magneti permanenti.

Dopo una brevissima ma indispensabile introduzione al ciclo di isteresi magnetica, verrà affrontato un esempio di calcolo numerico, relativo ad uno studio preliminare di progettazione per un motore BL.

Ciclo di isteresi

Come noto l'analisi dei circuiti magnetici, pur essendo assimilabile a quella dei circuiti elettrici in regime continuo, presenta un "serio" problema di calcolo dei parametri dovuto all'effetto memoria dei materiali magnetici. Quando si parla di materiali magnetici nel campo dell'elettrotecnica ed in particolare delle macchine elettriche, si intendono i materiali ferromagnetici [1], primo fra tutti il ferro, ma anche il nichel il cobalto ed altri [8].

Detti materiali non solo presentano una caratteristica induzione-campo magnetico non lineare, ma detta caratteristica non risulta reversibile e porta a dover considerare, nei casi più semplici, dei cicli chiusi sul piano B-H, detti "cicli di isteresi" cfr. fig.1.

fig. 1

Il discorso si complica se i limiti di variazione del campo non sono simmetrici; in questo caso vengono a presentarsi cicli parziali che portano a complicazioni di calcolo; se questi cicli sono di ampiezza ridotta, come quello fra P e B'r in fig.1, possono essere approssimati dalla retta mediana che risulta parallela alla retta tangente al ciclo in Br.

Un materiale ferromagnetico, sottoposto ad un campo magnetico esterno, manterrà quindi un "magnetismo residuo" Br che potrà essere portato a zero solo applicando un campo inverso di intensità pari ad Hc, percorrendo la parte del ciclo contenuta nel secondo quadrante, la "caratteristica di smagnetizzazione".

La forma della caratteristica compresa fra i due punti caratteristici Br (induzione residua) e Hc (campo coercitivo), è diversa per i diversi materiali ferromagnetici, come evidenziato in figura

fig. 2

Nello sviluppo dei materiali per magneti permanenti si è cercato di massimizzare Br ma soprattutto Hc in quanto parametro caratteristico della resistenza alla smagnetizzazione.

L'incremento del campo coercitivo, può essere ottenuto ostacolando la reversibilità del processo finale di magnetizzazione relativo alla zona del ginocchio-saturazione, ovvero le rotazioni delle pareti di Bloch (cfr. [0] Cap_9.doc) ; realizzabile con una suddivisione del materiale a dimensioni vicine a quelle dei domini magnetici elementari.

Riportiamo in fig. 3 (cfr. [2] Permanent Magnets in Rotating Machines par. 3.7) questa importante zona del ciclo per alcune ulteriori considerazioni.

fig. 3

In figura è riportata una generica curva di smagnetizzazione intermedia, che potrebbe corrispondere al $S m 2 C o 17$ .

Si nota come, partendo dall'induzione residua Br, a un tratto iniziale rettilineo faccia seguito un tratto a più alta pendenza in corrispondenza al calo della magnetizzazione intrinseca M del materiale (indicata in rosso a tratteggio).

Da quanto sopra esposto in relazione alla "retta di ritorno" si comprende come, grazie alla linearità iniziale, esista un campo di smagnetizzazione tale da non produrre sensibili effetti di riduzione nell'induzione Br' rispetto a Br. Portandosi per esempio in Q, la "retta di ritorno" verrebbe quasi a sovrapporsi alla curva di smagnetizzazione.

Nell'esempio di figura è stata invece ipotizzata una forte smagnetizzazione del magnete, tale da portare il punto di lavoro in A; in questa situazione, una successiva riduzione del campo smagnetizzante, fa percorrere al punto di lavoro un ciclo parziale, approssimabile con una retta che, passante per A e parallela alla tangente alla curva di smagnetizzazione in Br, intersechi l'asse B in corrispondenza ad una induzione residua Br' inferiore alla Br nominale.

La curva |Bm Hm|, prodotto fra induzione e campo magnetico, è invece utile per minimizzare il volume del magnete in quanto, dati per un certo traferro $B_{t},\,\,l_{t},\,\,S_{t}$ ,

per l'uguaglianza dei flussi potremo scrivere

$B_{t}S_{t}\,=\,B_{m}S_{m}$

per l'uguaglianza delle d.d.p. magnetiche

$H_{t}l_{t}=\left| H_{m} \right|l_{m}$

moltipplicando membro a membro otteniamo

$B_{t}H_{t}\cdot V_{t}=B_{m}\left| H_{m} \right|\cdot V_{m}$

dove compaiono i volumi di traferro e magnete; ne segue che, se il primo membro è assegnato (a meno di un fattore 1/2 rappresenta l'energia immagazzinata nel traferro), il minimo volume del magnete lo potremo ottenere massimizzando il prodotto $B_{m}\left| H_{m} \right|$ .

Il punto Q di figura rappresenta proprio questa possibile condizione di lavoro. (ricordo come, quando vengano a essere presenti più caratteristiche di smagnetizzazione, la suddetta rappresentazione energetica venga sostituita da una famiglia di curve iperboliche a energia specifica costante )

Calcolo

I dati di progetto sono:

a) le caratteristiche del materiale magnetico

Magnete: NdFeB
Grado: N35H
Br: Nom. 1.21 Min. 1.17 T
Hc: Nom. 915 Min. 860 kA/m
Hci: 1353 kA/m
BHmax: Nom. 263 Min. 247 kJ/m^3
Tw: < 120 °C
Dimensioni:
Sezione 25x25mm
Lunghezza (asse di magnetizzazione) lm 10mm
intensità stimata per la corrente i nell'avvolgimento: 5 A

b) il disegno quotato del circuito magnetico completo di avvolgimento

fig. 4

c) la caratteristica B-H

fig. 5

Premesso che un calcolo per via numerica con Scilab, porterebbe a risultati sicuramente più precisi e rapidi, vediamo come affrontare il problema con carta, penna e tabelle.

Un inizio potrebbe essere, dette:

$l_{f}=581\,mm$ la lunghezza della parte di circuito in Fe-Si,

$l_{m}=10\,mm$ la lunghezza del magnete permanente ,

$l_{t}=1\,mm$ lo spessore del traferro

indichiamo, di conseguenza, il valore dell'induzione e del campo magnetico:

$B_{f}\,\,e \,\,H_{f}\,\,$ nel ferro,

$B_{m}\,\, e \,\, H_{m}\,\,$ nel magnete

$B_{t}\,\, e \,\, H_{t}\,\,$ nel traferro,

ed inoltre con $N\,\,$ il numero di spire dell'avvolgimento e con $i$ la corrente che lo percorre.

La relazione che in questo caso si potrà usare sarà la legge della circuitazione magnetica

$\oint{{\vec{H}}}\cdot d\vec{l}_{\,\,\,}=\,I\,\,$

(dove $I$ rappresenta la corrente "libera" totale concatenata con il percorso chiuso di integrazione, nel nostro caso pari a $N\,i$ .

Supponendo, per ora, che la corrente nell'avvolgimento sia nulla,

$\oint{{\vec{H}}}\cdot d\vec{l}_{\,\,\,}=\,0\,\,$

cerchiamo di determinare il punto di lavoro per il circuito.

La relazione integrale, semplificata ai tre tronchi magnetici componenti il circuito, può essere scritta come :

$H_{f}\, l_{f}+H_{t}\, l_{t}+H_{m}\,l_{m}=0\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$

a questo punto ci troviamo di fronte al classico problema della determinazione del campo nel ferro, senza conoscere a priori l'induzione. Normalmente si considera la riluttanza del traferro predominante sulla riluttanza del ferro e si semplifica la precedente relazione scrivendo

$H_{t}\, l_{t}+H_{m}\, l_{m}=0$

in questo caso però, il rapporto fra spessore del traferro e lunghezza del ferro, dell'ordine di 1/600, è confrontabile con il rapporto fra le permeabilità relative dei due mezzi : aria/FeSi pari a 1/2400 (ricavata dalla tabella nell'intervallo 0,4 < B < 1T); l'approssimazione dell'ordine di (1/4)*100 % =25% risulterebbe troppo elevata. (detto in parole povere 1 mm di aria sarebbe equivalente a 2,5m di ferro ... e il nostro mezzo metro non e' quindi trascurabile!)

Caratteristica lamiere Fe-Si
B	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00	1,10	1,20	1,30	T
H	100	125	145	160	180	200	250	310	400	500	700	1200	A/m
$μ r$	1590	1910	2200	2500	2650	2800	2550	2310	2000	1750	1360	860	--

Una seconda considerazione risulta necessaria; normalmente la sezione

$S_{m}\simeq S_{f}<S_{t}$ a causa dell'allargamento della sezione di passaggio nell'aria,

ma in questo caso visto l'alto rapporto 25/1 fra dimensione trasversale e spessore del traferro, possiamo senz'altro ritenere

$S_{m}\simeq S_{f}\simeq S_{t}$ .

Grazie all'andamento lineare della caratteristica di smagnetizzazione del NdFeB , possiamo rappresentarla con la seguente relazione lineare

$B_{m}=f(H_{m})=B_{r}\left( 1-\frac{H_{m}}{H_{c}} \right)$

mentre dalla (1)

$H_{t}=-H_{m}\frac{l_{m}}{l_{t}}-H_{f}\frac{l_{f}}{l_{t}}$

a questo punto avremo due relazioni

$\left\{ \begin{align} & B_{m}=B_{r}\left( 1-\frac{H_{m}}{H_{c}} \right) \\ & B_{t}=\mu _{0}\left( -H_{m}\frac{l_{m}}{l_{t}}-H_{f}\frac{l_{f}}{l_{t}} \right) \\ \end{align} \right.$

dalle quali ricordando che

$B_{t}\simeq B_{m}$

avremo

$B_{r}\left( 1-\frac{H_{m}}{H_{c}} \right)=\mu _{0}\left( -H_{m}\frac{l_{m}}{l_{t}}-H_{f}\frac{l_{f}}{l_{t}} \right)$

e, usando, come situazione più gravosa, i valori minimi dichiarati

$B_{r}=1,07\,T \,\,,\,\,\,H_{c}=860\,kA/m\,\,\,e\,\,\,\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-4}\, mH/m$

otteniamo, esprimendo H in kA/m

$1,17\,\,\left( 1-\frac{H_{m}}{860} \right)=4\pi \cdot 10^{-4}\,\left( \,-H_{m}\frac{10}{1}-H_{f}\,\frac{581}{1} \right)$

e infine

$931+11,08\,H_{m}+581\,H_{f}=0$

Considerando che, nel suddetto campo di variabilità per l'induzione, la permeabilità relativa si mantiene mediamente intorno a 2400 possiamo valutare il campo nel ferro grossolanamente intorno ai 160 A/m, sostituendo avremo

$H_{m}=-92\,kA/m\,\,\,\,\,\,,\,\,B_{m}=1,04\,\,T$

da questi valori ci accorgiamo che avevamo sottostimato il valore del campo nel ferro in quanto con 1,04T dalle Tabelle del FeSi otteniamo 440 A/m !

Aggiorniamo la relazione

$931+11,08\,H_{m}+581\,H_{f}=0$

e ricalcoliamo

$H_{m}=-108\,kA/m\,\,\,\,\,\,,\,\,B_{m}=1,03\,\,T$

un ultima iterazione, con il valore aggiornato del campo $H m$ ci porta ai valori che possiamo ritenere definitivi

$H_{m}= -107 \,kA/m\,\,\,\,\,\,,\,\,B_{m}= 1,02 \,T$

Nella rappresentazione grafica finale, la retta r, che rappresenta solo la relazione matematica ottenuta e non la caratteristica magnetica del tratto Fe-Si + Traferro, come si potrebbe essere erroneamente portati a pensare, avrà equazione

$B_{m}(H_{m})=-0,0126\,H_{m}-0,32$

La figura riporta la posizione del punto di lavoro stimato P e anche il punto Q di massima energia specifica relativo al migliore sfruttamento del magnete.

fig. 6

Analisi FEMM e Grafica

Lasciamo ad un successivo articolo, Magneti Permanenti. 2

la simulazione via FEMM
lo studio per via Grafica

Riferimenti

[0] Daniele Mazza Materiali per l'Elettrotecnica (Cap. 9, 10, 11 e 12)
[1] J. M. D. Coey Rare-earth iron permanent magnets
[2] Tapani Jokinen, Valeria Hrabovcova Design of Rotating Electrical Machines
[3] David Jiles Introduction to magnetism and magnetic materials
[4] Jacek F. Gieras, Mitchell Wing Permanent magnet motor technology
[5] Edward P. Furlani The electrical engineering handbook
[6] John R. Brauer Magnetic Actuators and Sensors
[7] Peter Campbell Permanent Magnet Materials and Their Application

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Magneti permanenti. 1

Indice

Abstract

Introduzione

Ciclo di isteresi

Calcolo

Analisi FEMM e Grafica

Riferimenti

Inserisci un commento

Argomenti correlati

Tag Cloud

Informazioni

Seguici

Pubblicità

Credits