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Rotazione assi cartesiani (cambiamento coordinate)

Spesso capita di dover "cambiare" sistema di riferimento, la traslazione non è particolarmente complicata, ma,al contrario la rotazione degli assi non risulta molto intuitiva.

Dopo un breve ripasso ho pensato che magari potesse essere di aiuto a qualcuno e ho deciso di appuntarlo quì. Cominciamo.

Dato un sistema di riferimento cartesiano che nello schema ho indicato con lettere corsive maiuscole OXY (in nero) si immagini di ruotarlo di un angolo α in senso antiorario (angolo positivo):

N.B. con le lettere maiuscole si è indicato il nome degli assi, mentre con quelle minuscole si sono indicate le coordinate del punto P (nei due sistemi di riferimento). Data la seguente costruzione:

Il segmento hx è dato da:

hx = x'cos(α)

mentre il segmento oh è dato da:

oh = y'sin(α)

Il segmento ox, che altro non è che l'ascissa x è dato da:

x = ohhx = y'sin(α) − x'cos(α)

Tale relazione lega i due sistemi di riferimento. Analogamente calcoliamo l'ordinata y mediante la seguente costruzione:

Il semento by è dato da:

by = x'sin(α)

mentre il segmento ob è dato da:

ob = y'cos(α)

da cui si ha:

y = ob + by = y'cos(α) + x'sin(α)

Riassumendo:

x = y'sin(α) − x'cos(α)

y = y'cos(α) + x'sin(α)


Tali equazioni prmettono di ricavare le coordinate (x,y) conoscendo (x',y') e α. Se si conoscono (x,y) e si vogliono ottenere le coordinate (x',y') basta cambiare il segno dell'angolo.

Ragionando in termini di "trasformazioni lineari", i due sistemi di riferimento sono entrambi basi vettoriali nello stesso spazio, dunque è possibile trovare una funzione lineare che li lega. Data tale remessa è possibile scrivere quanto segue:

\begin{pmatrix} X'\\ Y'\\ \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} cos
\theta
&-sen
\theta
\\ sen
\theta
&cos
\theta
\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\\ Y\\\end{pmatrix}


Spero sia utile a qualcuno.

Matteo

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Commenti e note

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di ,

Modifica apportata. In effetti è un pò più elegante come scrittura. :)

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di ,

Esatto :) Basta considerare come matrice della trasformazione quella che ha per colonne i versori ortonormali trasformati (ruotati) dell'angolo desiderato. NB: Tale matrice sarà addirittura ortogonale.

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di ,

Grazie :) Per risistemre in trasformazioni lineari intendi riportare tutto in forma matriciale? Il sistema dovrebbe rappresentare una "funzione" R2 => R2 e se non erro i due sistemi di riferimento rappresentano due basi differenti nello stesso spazio vettoriale. Condizioni sufficienti per parlare di trasformazioni lineari giusto?

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di ,

Intanto +1 ;)

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di ,

Interessante, forse potresti semplificare di parecchio guardando il problema nell'ottica delle trasformazioni lineari :) Prova :)

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