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Cos(π/9)

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[21] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 27 ago 2022, 19:00

Perché a mano cambierebbe?
Potresti meglio spiegare il metodo per il calcolo per approssimazioni successive della radice cubica?
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[22] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 ago 2022, 19:04

Sì, a mano cambia, perché come ho già detto si riusano i risultati dei cubi precedenti.

Volevo lasciare ancora un po' di tempo nel caso in cui qualcuno voglia cimentarsi a capire il metodo, poi farò un post riassuntivo del metodo.
Avete già individuato che si parte dalle formule di triplicazione. :D
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[23] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 27 ago 2022, 19:14

2 cos[cubo] (π/9)
:mrgreen:
2 cos ³ (π/9)
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[24] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 ago 2022, 20:14

Vediamo un po' di storia di questo metodo.

Nel 1913 un giovane matematico indiano, tanto povero quanto motivato a cambiare vita trasferendosi in Inghilterra, mandò una lettera a tre professori di Cambridge includendo dei risultati che diceva di aver ricavato in modo autonomo.
Solo uno dei tre professori riuscì a cogliere la grandezza di quei risultati di quel venticinquenne autodidatta e lo invitò in Inghilterra.
Il professore si chiamava Hardy ed era un matematico molto illustre, che ha ottenuto dei risultati di tutto rispetto e che oggi sono patrimonio della letteratura matematica.
Diceva che i risultati di quel ragazzo erano straordinari e, durante le cene o le occasioni, si concedeva il racconto di un aneddoto.

Raccontava che, per lui, non era stato affatto facile dimostrare da solo i risultati ottenuti da quel ragazzo prodigio, ma che, dopo molto sforzo e con grande soddisfazione, in genere ci riusciva.

Un risultato però resisteva, ma non perché fosse particolarmente complesso, quanto perché nessuno sapeva il risultato esatto di cos(π/9).
Il professore aveva capito che quel giovane doveva aver elaborato un metodo proprio per trovarne il risultato e, quando si incontrarono, fu una delle prime cose che gli chiese.

Lui rispose che non aveva inserito nella lettera alcuni risultati perché gli sembravano banali e che quella costante valeva circa 1.879.
Il professore gli chiese subito come poteva saperlo e lui rispose:

Partiamo dalle formule di triplicazione del coseno:

4\cos^3(x)-3\cos (x)=\cos(3x)

se x=π/9 sappiamo che

8\cos^3(x)-6\cos (x)=1

per cui il cos(π/9) è una soluzione di questa equazione:

(2t)^3-3(2t)-1=0

che dimostra inoltre che il cos(π/9) non è un numero trascendente (cosa che all'epoca non era nota!)

Per risolvere quell'equazione posso riscriverla come

2t=\sqrt[3]{1+3(2t)}

e iterandola posso trovare 2t, ma non ho riportato tutto questo perché mi sembrava ovvio.

Hardy diceva dei problemi contenuti in quella lettera che "neppure uno avrebbe potuto essere inserito nell'esame matematico più avanzato del mondo" e lo invitò a fargli leggere tutti i risultati "ovvi" che diceva di aver appuntato nei suoi quaderni.

Quel ragazzo era Srinivasa Ramanujan.
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