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Cos(π/9)

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[11] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 27 ago 2022, 12:07

Il metodo di Cardano mi fornisce le tre soluzioni dell'equazione di terzo grado x³-3x-1=0, fra di esse c'è 2cos(π/9).
Poiché nel caso particolare 2 sono reali e negative (non ho fatto il grafico qualitativo a caso) possono essere escluse e la terza (positiva e vicina a 2) fornisce il valore desiderato.
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[12] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 ago 2022, 12:27

La soluzione di Cardano per equazioni in cui il termine di secondo grado è nullo vale:

x=\sqrt[3]{-\frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^2}{4a^2}+\frac{c^3}{27a^3}}}+\sqrt[3]{-\frac{d}{2a}-\sqrt{\frac{d^2}{4a^2}+\frac{c^3}{27a^3}}}

e nel nostro caso specifico diventa:

x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}}

che semplificata diventa x=2\cos{\frac{\pi}{9}}

non molto utile, no?
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[13] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 27 ago 2022, 15:17

Concordo. Per la determinazione numerica è del tutto inutile.
Ma è il valore esatto di cos(π/9).
Perché da un punto di vista computazionale le radici continue sono meglio ad es di Newton-Raphson
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[14] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 ago 2022, 15:39

La soluzione di Cardano restituisce il valore esatto, certo, ma non è utile per la sua determinazione numerica.

GioArca67 ha scritto:Perché da un punto di vista computazionale le radici continue sono meglio ad es di Newton-Raphson

Suppongo sia una domanda?
Le radici continue vanno meglio di NR per il fatto che la approssimazione precedente fornisce un nuovo valore di partenza per il calcolo della radice cubica successiva, per cui posso sfruttarlo per migliorare la approssimazione. In questo modo non devo ricalcolare "tutta" la radice cubica da capo, ma solo le cifre errate (e per capire quali siano faccio il rapporto fra due approssimazioni successive e vedo qual è la posizione della prima cifra diversa da zero).
Facendo questo si può dimostrare che la convergenza è migliore di quella del metodo di NR.

Il problema è che non sempre siamo fortunati e riusciamo a trovare una radice continua che approssimi qualcosa (e talvolta lo approssima peggio di NR, ad esempio), mentre il metodo di NR funziona sempre.

Inoltre il problema di NR è che le derivate di seni e coseni restano sempre seni e coseni, quindi in questo caso non ci aiuta molto.
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[15] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 27 ago 2022, 16:17

Ok, grazie. Sì era una domanda.
Però in questo caso N-R mi molto semplice visto che abbiamo un banale polinomio (x³-3x-1) e la derivata è altrettanto banale.
Partendo da x0=2 in 3 iterazioni ho 3 cifre decimali corrette
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[16] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 ago 2022, 16:19

Con la radice in 19 iterazioni hai 10 cifre decimali corrette, partendo da 4.
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[17] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 27 ago 2022, 17:46

PietroBaima ha scritto:Con la radice in 19 iterazioni hai 10 cifre decimali corrette, partendo da 4.

Perché 4 e non 2?
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[18] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 ago 2022, 17:58

Puoi assumere quello che vuoi, ma se non specifichi niente Mathematica (che io uso di solito) assume 1 come valore inziale con cui calcolare la prima iterazione.
Ponendo 1 si ha che 1+3\sqrt[3]{1} fa 4
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[19] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 27 ago 2022, 18:36

Visto che se non vedo non credo, ho fatto una prova (quick&dirty).
Non per dimostrare alcun che.
Newton vs Radici Continue...
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[20] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 ago 2022, 18:56

Certo, se fai il calcolo a macchina è ovvio...
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