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Cos(π/9)

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 26 ago 2022, 1:48

Un problema che è stato annoso fino alla invenzione dei primi calcolatori automatici è stato quello di determinare con un certo numero di cifre decimali i valori di Sin e Cos.

Stasera mi limiterò al calcolo di Cos(π/9), che ha resistito agli attacchi per la sua determinazione numerica per molto tempo.

Un metodo molto efficiente per poterlo calcolare è questa radice continua:

2\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)=\sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{1+...}}}

Ora le domande:
1. Chi riesce a dimostrare l'uguaglianza?
2. Perché dico che è un metodo molto efficiente per il calcolo di cos(π/9)?

Buon lavoro
Pietro
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[2] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 26 ago 2022, 17:52

Non è poi così difficile!
Nessuno che abbia voglia di cimentarsi?
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[3] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 26 ago 2022, 19:00

E diciamo che è una "storia" già vista, anche in elettrotecnica. :mrgreen:
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[4] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 26 ago 2022, 19:03

già :mrgreen:
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[5] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 26 ago 2022, 19:46

Io, da idraulico, per prima cosa eleverei al cubo, come seconda cosa userei la forma esponenziale ...
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[6] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 27 ago 2022, 0:34

Domani la scrivo decente...
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[7] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 27 ago 2022, 9:28

... forma esponenziale che mi avrebbe permesso di ottenere la sequente equivalenza

\cos^3(x)=\frac{1}{8}(2 \cos(3x)+6\cos (x))

e quindi dimostrare l'uguaglianza proposta da Pietro (il Grande). :D
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[8] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 ago 2022, 9:35

Dimostrare la formula di triplicazione usando i numeri complessi credo sia il metodo più immediato.
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[9] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 27 ago 2022, 11:33

Il perché sia molto efficiente però non lo riesco a determinare, anche perché risolvere un'equazione di terzo grado con Cardano non è né oneroso né complesso e servono solo 2 radici cubiche (più svariate quadrate).
Per calcolare una radice cubica ci vogliono circa 10 moltiplicazioni e 3 addizioni.
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[10] Re: Cos(π/9)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 ago 2022, 11:37

La soluzione di Cardano ti restituisce il valore numerico di Cos(π/9)?
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