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Problema

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Problema

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 27 dic 2021, 11:04

Alcuni borghi della costa marittima conservano fusti di antichi cannoni puntati verso il mare.
Servivano a lanciare proiettili di pietra contro le navi dei pirati che assalivano il borgo.
La rudimentalità dell'arma fa ritenere assai scarsa la probabilità
di centrare il bersaglio.
Oggi sarebbe un semplice problema a livello liceale (trigonometria e fisica del moto)
quello di calcolare l'esatta predisposizione per centrare il bersaglio.
Ed ecco il problema proposto:


Due postazioni rilevano gli angoli \alpha e \beta
che permettono di determinare l'angolo di puntamento \gamma
e la distanza D del bersaglio (cerchio rosso).
La traettoria del proiettile è parabolica, determinata dalla gravità g=9.81m/s^2.
Per questo la velocità vu del proiettile deve avere na copnente verticale che faccia
terminare la parabola esattamente in D (si suppone di conoscere sperimentalmente la carica di esplosivo necessaria ad ottenere vu, per una gittata massima di 100m).
'Le componenti verticale ed orizzontale di vu stabiliscono in infine l'angolo \delta di 'alzo' del cannone.
Ecco un esempio supponendo d i ave r rilevato \alpha =45.38° e \beta=108.21°
°
PiratRis - Copia.gif
PiratRis - Copia.gif (15.46 KiB) Osservato 643 volte


Qualcuno vuole provare a calcolare i valori di vu (in m/s), \gamma e \delta (in °)?
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[2] Re: Problema

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 27 dic 2021, 21:55

Con i dati forniti la nave pirata si trova in (x,y)=(25,76) che troviamo per intersezione delle 2 rette di mira
Visto che spariamo coi cannoni, li usiamo anche per le mosche e quindi ho usato la rappresentazione polare per la retta (così da evitare singolarità)
x \cos(\vartheta) + y \sin(\vartheta) = \rho
con \vartheta=\alpha-90 oppure \beta-90
e \rho=\pm d \cos(\vartheta)
Ottengo
A=\begin{bmatrix}
\cos(\vartheta_1) & \cos(\vartheta_1)\\ 
\cos(\vartheta_2) & \cos(\vartheta_2) 
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0.7118 &-0.7024 \\ 0.9499 & 0.3125
\end{bmatrix}
b=\begin{bmatrix}
\rho_1 \\ \rho_2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-35.589 \\47.4959
\end{bmatrix}
P_{pirati}=A^{-1} b=\begin{bmatrix}
25 \\ 76
\end{bmatrix}

La distanza D è 80m

Affettiamo con un piano verticale passante per il cannone e la nave pirata, mettiamo un riferimento cartesiano x,y con origine nel cannone (distanza lungo x).

Ora però ho un problema perché per 2 punti (0,0) e (80,0) mi passa un fascio di parabole, e quindi mi ritrovo \infty^1.

La generica parabola rivolta verso il basso ha equazione
y(x)=b x - a x^2=x(b - ax)
con b=80a (deve passare per (80,0))
con incognite però v_{ux} e v_{uy} ma non trovo altre equazioni, è vero che il loro rapporto mi dà \delta, ma rimane l'intensità incognita.

Del resto posso puntare ad es più in alto e usare più polvere da sparo oppure a 45° e usarne di meno.
Scriviamo le equazioni orarie (lungo x agisce solo V_{ux}, mentre lungo y agisce V_{uy} e un'accelerazione -g)
x = V_u \cos(\delta) t
y = V_u \sin(\delta) t - 0.5 g t^2

Risolvendo in t la prima e sostituendo nella seconda otteniamo
y = x \tan(\delta) - \frac{g x^2}{2 (V_u \cos(\delta))^2}

che possiamo scrivere anche
y = x (\tan(\delta) - \frac{g x}{2 (V_u \cos(\delta))^2})

da cui la gittata (y=0)

x_g = \frac{2 V_u^2 \sin(\delta) cos(\delta)}{g} = 80

da cui fissato un \delta posso trovare Vu (ed eventualmente quanta polvere da sparo, anche se è di fatto supposto noto).

Forse ho sbagliato qualcosa o non vedo un'altra equazione?
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[3] Re: Problema

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 28 dic 2021, 9:36

:ok:
'
g.schgor ha scritto:...la velocità vu del proiettile deve avere una componente verticale che faccia
terminare la parabola esattamente in D

la parabola è simmetrica con la componente verticale =2g e quella orizzontale che impiega lo stesso tempo per arrivare in D.
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[4] Re: Problema

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 28 dic 2021, 11:42

Per ragionare sulla balistica, riguardo alla scelta della parabola, distinguerei fra il tiro del mortaio e quello del cannone.
Il cannone più spara veloce, più il tiro è dritto e colpisce il bersaglio se questo presenta una certa altezza.
Il mortaio spara verso l'alto (elevazione maggiore di 45°), il proiettile poi cade dall'alto sul bersaglio.
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[5] Re: Problema

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 28 dic 2021, 12:58

Rileggendo ho visto un errore di scrittura di A, dove la seconda colonna è ovviamente seno e non coseno...
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[6] Re: Problema

Messaggioda Foto UtenteMax2433BO » 31 dic 2021, 11:06

Se qualcuno è particolarmente interessato alla balistica, posso consigliare la lettura di questo compendio.

O_/ Max
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[7] Re: Problema

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 31 dic 2021, 19:02

Se lancio una massa verso l'alto con velocità vh=2g m/s
la massa raggiungerà un'altezza di circa 20 m
per poi ricadere al suolo in un tempo T=4 s.

Dando anche una velocità orizzontale vd=D/ T m/s
la traiettoria parabolica finirà esattamente sul bersaglio,
come mostrato nella figura del post[1].

I risultati dell'esempio sono quindi:
\gamma=71.79° vu=28 m/s \delta=44.45°

Non è stata considerata l'alternativa del mortaio
citata da Foto UtenteMarcoD perché richiede la massima carica di esplosivo,
sprecato poi er alzare la traiettoria al diminuire di D.

Il criterio della minimizzazione dell'esplosivo necessario al lancio
conduce ad una diversa soluzione:
invece di mantenere costante il tempo di lancio T
si mantiene costante \delta=45°, cioè l'angolo che
a parità di carica dà la gittata maggiore.

Anche questa soluzione è disponibile ‍ad eventuali interessati.
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