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Approssimare 1/x con funzione esponenziale

Analisi, geometria, algebra, topologia...

Moderatori: Foto UtentePietroBaima, Foto UtenteIanero

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[31] Re: Approssimare 1/x con funzione esponenziale

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 29 nov 2021, 10:54

Figurati. :)

Quelli sono dei testi di… consultazione rapida.
Appena vado in Italia vedo se ne trovo ancora qualcuno.
Prova a sfogliarne uno a caso per renderti conto del livello.

Mi ricordo che su di un testo di algebra elementare (che loro cominciano alle medie) c’era questo problema:
sia dato che a^2+b^2=cd=4 dimostrare che (a-d)^2+(b-c)^2\geq1.6

Prova a risolverlo.

Questo era un possibile esercizio di un compito in classe delle medie, di matematica.
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[32] Re: Approssimare 1/x con funzione esponenziale

Messaggioda Foto UtenteMax2433BO » 29 nov 2021, 11:26

PietroBaima ha scritto:Prova a risolverlo.


Se mi dai due o tre eoni di tempo forse ci arrivo (:OO:)

Comunque se non ricordo male

a^2 + b^2 = n^2

è simile alla formula della circonferenza centrata sugli assi cartesiani

x^2 + y^2 - r^2 = 0

e

(a-d)^2 + (b-c)^2 \geq 1.6

è simile alla formula della circonferenza date le coordinate del centro e il raggio

(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2

però, al momento, di più nin so!!! :mrgreen:

O_/ Max

P.S.
In realtà ho un po' barato :oops: sono andato a prendere i miei vecchi libri delle superiori per cercare delle similitudini con le formule che, allora, conoscevo bene.
Disapprovo quello che dite, ma difenderò fino alla morte il vostro diritto di dirlo [attribuita a Voltaire]

Sapere sia di sapere una cosa, sia di non saperla: questa è conoscenza. [Confucio, "I colloqui"]
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[33] Re: Approssimare 1/x con funzione esponenziale

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 29 nov 2021, 11:31

Può essere un inizio
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[34] Re: Approssimare 1/x con funzione esponenziale

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 29 nov 2021, 14:35

PietroBaima ha scritto:sia dato che a^2+b^2=cd=4 dimostrare che (a-d)^2+(b-c)^2\geq1.6

Prova a risolverlo.


sicuro che non fosse 0.6 cioè:
(a-d)^2+(b-c)^2\geq0.6

solo così 2(2-\sqrt 2)^2 verifica
(a-d)^2+(b-c)^2 è il quadrato della distanza fra i punti (a,b) e (c,d) che devono muoversi lungo rispettivamente una circonferenza di raggio 2 centrata nell'origine ed una iperbole di parametro 4
La minima distanza è sul punto di simmetria lungo la retta a 45° ovvero fra i punti (c,d)=(2,2) e (a,b)=(\sqrt 2,\sqrt 2).
Questa distanza al quadrato è semplicemente 2 volte (2-\sqrt 2)^2=4+2-2 *2\sqrt 2=6-4\sqrt 2 \approx 0.34
Quindi se la minima distanza (al quadrato) fra due punti qualsiasi con quei vincoli è 0,68 allora per ogni coppia di punti (a,b) (c,d), vincolati alla circonferenza e all'iperbole rispettivamente, la relazione è dimostrata essendo la loro distanza (al quadrato) sicuramente maggiore o uguale a 0,68
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[35] Re: Approssimare 1/x con funzione esponenziale

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 29 nov 2021, 14:51

Sono sicuro, 1.6
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[36] Re: Approssimare 1/x con funzione esponenziale

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 29 nov 2021, 14:52

coto ha scritto: ma ho a disposizione solo
-somma
-sottrazione
-moltiplicazione
-e^x

Non è che abbiamo a disposizione anche la funzione inversa ln(y) ?
(è un calcolatore analogico?)
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[37] Re: Approssimare 1/x con funzione esponenziale

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 29 nov 2021, 15:59

PietroBaima ha scritto:Sono sicuro, 1.6


Forse le formule?

(c,d)=(2,2) soddisfa cd=4
(a,b)=(√2,√2) soddisfa a²+b²=4

Ma
(√2-2)²+(√2-2)² = 0,6863... ≤ 1,6

Abbiamo quindi trovato una coppia di valori sui vincoli che non soddisfa la disequazione, che pertanto non è vera.
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[38] Re: Approssimare 1/x con funzione esponenziale

Messaggioda Foto Utenteharpefalcata » 29 nov 2021, 16:08

Su internet, youtube in particolare ci sono spiegazioni su come calcolare quella che si chiama FISQRT (Fast Inverse Square Root). E' una versione piu complessa rispetto alla tua richiesta, quindi la puoi adattare facilmente.

E' il risultato di un algorito matematico molto ottimizzato, ma funziona benissimo. A te, capire tutta la matematica che sostiene quel genere di approssimazioni.
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[39] Re: Approssimare 1/x con funzione esponenziale

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 29 nov 2021, 16:26

harpefalcata ha scritto:Su internet, youtube in particolare ci sono spiegazioni su come calcolare quella che si chiama FISQRT (Fast Inverse Square Root). E' una versione piu complessa rispetto alla tua richiesta, quindi la puoi adattare facilmente.

E' il risultato di un algorito matematico molto ottimizzato, ma funziona benissimo. A te, capire tutta la matematica che sostiene quel genere di approssimazioni.


E' sostanzialmente il pezzo di codice che ho scritto sopra.
Cambiano i coefficienti ed il "numero magico" che derivano da come è rappresentato un numero in virgola mobile e dal fatto di usare un'approssimazione del logaritmo in base 2 della funzione desiderata che è usato come punto iniziale per Newton Raphson (uno o più cicli)
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[40] Re: Approssimare 1/x con funzione esponenziale

Messaggioda Foto Utenteboiler » 29 nov 2021, 19:23

PietroBaima ha scritto:I libri di matematica russi (specialmente quelli della editrice MIR) sono particolarmente completi, ma particolarmente ostici.

Io ho la versione per principianti :mrgreen:
Piskunov, Calcolo differenziale e integrale, tomo primo e secondo

La disequazione è interessante! Prima in ufficio ho provato velocemente a dimostrarla e mi ha preso parecchio, ma ho dovuto smettere perché... beh insomma... ero sul lavoro e avevo altro da fare.
Ho l'impressione che serva il completamento del quadrato e poi sul risultato forse va applicato una seconda volta. Magari dopo riprovo

Mi ricordo di uno studente russo che ha cominciato gli studi con me. Ad analisi, come docente, avevamo un guru del settore. Noi si sudava sangue, lui trovava le lezioni facili e ha passato gli esami di analisi con il massimo dei voti (una cosa piú unica che rara dove ho studiato io).

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