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Esercizio Diagramma di Bode e Risposta Armonica

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[1] Esercizio Diagramma di Bode e Risposta Armonica

Messaggioda Foto UtenteAllen » 16 nov 2021, 11:35

Salve a tutti!
Sto riscontrando un problema nel seguente esercizio:
Si consideri la funzione di trasferimento:

G(s)=\frac{2(s+20)}{5(s^2+0,4s+4)}

Calcolare la risposta del sistema se l'ingresso persistente é u(t)=4sin(2t+0,1)
Il risultato ottenuto non é congruente con il diagramma di Bode, perché?

Per cercare una soluzione a questo problema, ho utilizzato il Teorema della Risposta Armonica, verificando prima di tutto che il sistema fosse asintoticamente stabile utilizzando il criterio di Bode.
La risposta a regime risulta essere: y(t)=40.08sin(2t-1,37)

Purtroppo nel diagramma asintotico di Bode da me tracciato, non trovo riscontro con la soluzione calcolata con il suddetto teorema. Purtroppo non capisco quale sia il problema :? Vi ringrazio in anticipo! :ok:
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[2] Re: Esercizio Diagramma di Bode e Risposta Armonica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 16 nov 2021, 12:03

Se non posti il tuo diagramma di Bode e non spieghi perché non trovi riscontro, come facciamo a risponderti? ;-)
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[3] Re: Esercizio Diagramma di Bode e Risposta Armonica

Messaggioda Foto UtenteAllen » 16 nov 2021, 12:28

Hai perfettamente ragione, chiedo scusa per la mia dimenticanza. :oops:
In allegato ci sono i diagrammi asintotici di Bode dell'esercizio. Ringrazio di nuovo :-)
Allegati
Grafico Bode Fase.jpg
Grafico della Fase
Grafico Bode Modulo.jpg
Grafico del Modulo
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[4] Re: Esercizio Diagramma di Bode e Risposta Armonica

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 16 nov 2021, 16:58

Poli complessi coniugati!!
Rivedi il diagramma.
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[5] Re: Esercizio Diagramma di Bode e Risposta Armonica

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 16 nov 2021, 18:35

Quello che hai tracciato e` il diagramma asintotico di Bode, che e`molto utile, ma non puo` essere usato per trovare il guadagno intorno a poli e zeri reali (errore massimo di 3dB) e ancora peggio intorno a coppie di poli o zeri complessi coniugati, in questo caso l'errore massimo di ampiezza, che dipende dallo smorzamento, puo` essere molto piu` elevato, come succede qui.

Anche la fase dei poli e zeri complessi coniugati non varia come l'hai disegnata. Per un polo o uno zero reale, hai correttamente disegnato una variazione di 45° per decade, ma nel caso di singolarita` complesse coniugate, la variazione di fase e` molto piu` ripida(*).

In questo caso pero` non e` un problema perche' i poli c.c. sono in \omega=2\,\text{rad/s}, il segnale di ingresso e` alla stessa frequenza e quindi il ritardo di fase e` -90°, indipendentemente dallo smorzamento.

(*) Volevo scrivere la formula, derivazione e grafico dell'approssimazione ma e` piu` semplice se metto la figura e la formula tratta dal corso di Middlebrook, Design-Oriented Analysis.
Allegati
Fase poli CC.png
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[6] Re: Esercizio Diagramma di Bode e Risposta Armonica

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 16 nov 2021, 19:58

M_{R}(\zeta)=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^{2}}}

Per \zeta=0,1

M_{R}=5
20 \log{5} = 14

Alla risonanza 6+14=20 dB
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[7] Re: Esercizio Diagramma di Bode e Risposta Armonica

Messaggioda Foto UtenteAllen » 17 nov 2021, 11:37

Vi ringrazio per le risposte e le delucidazioni, questo mi ha aiutato a capire meglio le approssimazioni nel diagramma asintotico di Bode in presenza di poli complessi coniugati. Mi resta ancora un dubbio peró. Il problema mi chiede come mai in \omega =2 la risposta armonica non coincida.

Dalla risposta di IsidoroKZ, ho capito che é perché mi trovo alla pulsazione di rottura, dove l'approssimazione del diagramma asintotico di Bode non é piú accettabile (in questo caso) e poiché siamo in presenza di un polo reale, l'errore massimo commesso é di 3db.

Dal grafico risultava un'amplificazione del modulo pari a 6db, considerando anche l'errore dovremmo trovarci a 9db che corrisponde a circa 2,818 che comunque non coincide col risultato trovato se moltiplicato con l'ampiezza della sinusoide in ingresso.

La formula scritta da GioArca67 mi riporta al risultato, ma non mi é chiaro come mai abbia considerato lo smorzamento anche se in questo caso é un polo reale.
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[8] Re: Esercizio Diagramma di Bode e Risposta Armonica

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 17 nov 2021, 12:00

Allen ha scritto:La formula scritta da GioArca67 mi riporta al risultato, ma non mi é chiaro come mai abbia considerato lo smorzamento anche se in questo caso é un polo reale.



IsidoroKZ ha scritto:ancora peggio intorno a coppie di poli o zeri complessi coniugati, in questo caso l'errore massimo di ampiezza, che dipende dallo smorzamento, puo` essere molto piu` elevato, come succede qui.

Anche la fase dei poli e zeri complessi coniugati non varia come l'hai disegnata.


IsidoroKZ ha scritto:In questo caso pero` non e` un problema perche' i poli c.c. sono in \omega=2\,\text{rad/s}, il segnale di ingresso e` alla stessa frequenza e quindi il ritardo di fase e` -90°, indipendentemente dallo smorzamento.


Sicuro di aver letto bene
Allen ha scritto: le risposte e le delucidazioni, questo mi ha aiutato a capire meglio le approssimazioni nel diagramma asintotico di Bode in presenza di poli complessi coniugati.


b²-4ac=?
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[9] Re: Esercizio Diagramma di Bode e Risposta Armonica

Messaggioda Foto UtenteAllen » 17 nov 2021, 12:09

Di mattina funziono male #-o
Ero convinto che quello fosse un polo reale. :oops:
Ho tutti gli strumenti a disposizione per continuare! Grazie mille! :ok:
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[10] Re: Esercizio Diagramma di Bode e Risposta Armonica

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 18 nov 2021, 10:12

Non mi è chiaro cosa richiede il problema.
Mi sembra si t ratti di verificare che
data una FdT in s (G) e una tensione d'ingresso (Vin)
risulti in uscita una certa tensione (Vout).
Se è così, la prova più semplice è usare una funzione di Laplace (LF) di MicroCap:

Bode10a - Copia.gif
Bode10a - Copia.gif (6.57 KiB) Osservato 244 volte

Troppo 'semplice'?
Non vogliamo usare un simulatore?
Nel prossimo post una soluzione più dettagliata
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