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posizionamento del polo e dello zero in un PID

PLC, servomotori, inverter...robot

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[1] posizionamento del polo e dello zero in un PID

Messaggioda Foto Utentestardust79 » 8 set 2021, 10:59

Ciao a tutti.
Nella sintesi classica di un regolatore, lo zero e il polo del regolatore si posizionano sempre uno prima dell'altro oppure possono capitare in ordine (uno prima del'altro) a seconda della F(s) da regolare ? oppure ancora per regole matematiche uno deve per forza venire prima dell'altro ? grazie ciao.
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[2] Re: posizionamento del polo e dello zero in un PID

Messaggioda Foto Utentestardust79 » 8 set 2021, 12:38

forse mi sono espresso male. Con posizionare, non intendo in ordine cronologico, ma dove stanno nell'asse delle frequenze. In un regolatore lo zero è sempre a sinistra rispetto al polo o puo' anche accadere il contrario ? Grazie.
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[3] Re: posizionamento del polo e dello zero in un PID

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 8 set 2021, 22:40

Qui bisogna invocare i controllisti, ad esempio Foto Utentedimaios e Foto Utenteg.schgor!

Nella mia esperienza di utente semplice di PID ho sempre visto l'integratore a bassa frequenza per tirare su il guadagno in continua, e la parte derivativa in alta frequenza per migliorare il margine di fase.
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
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[4] Re: posizionamento del polo e dello zero in un PID

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 9 set 2021, 9:07

Ha già risposto Foto UtenteIsidoroKZ. Per meglio comprendere la posizione dei poli e degli zeri rispetto al diagramma di Bode segnalo questo articolo.
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[5] Re: posizionamento del polo e dello zero in un PID

Messaggioda Foto Utentestardust79 » 9 set 2021, 19:07

provo a rispondermi da solo.
se invertissi integratore e derivatore, avrei un controllore con guadagno nullo a frequenza nulla e a frequenza infinita, quindi in pratica sarebbe un proporzionale e basta.
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[6] Re: posizionamento del polo e dello zero in un PID

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 10 set 2021, 10:46

Non ha senso. Se ti riferisci ad un PID polo e zero devono essere come detto da IFoto UtenteIsidoroKZ.
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[7] Re: posizionamento del polo e dello zero in un PID

Messaggioda Foto Utentedimaios » 11 set 2021, 12:07

Scrivi l'equazione del PID nella forma C(s)=\frac{N(s)}{D(s)} considerando il derivatore ideale per semplificare il discorso. Disegna sul piano complesso la posizione di poli e zeri della funzione di trasferimento, si vede subito una cosa interessante che fornisce la risposta.
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[8] Re: posizionamento del polo e dello zero in un PID

Messaggioda Foto Utentestardust79 » 12 set 2021, 19:26

G(s)=K_{P}+\frac{K_{I}}{s}+K_{D}s=\frac{K_{D}s^{2}+K_{P}s+K_{I}}{s}=\frac{K_{I}}{s}\left ( 1+\tau _{1}s \right )\left ( 1+\tau _{2}s \right )

facendo l'analisi del binomio comprendente tau 1 e tau 2, ho 3 casi:
- due soluzioni reali e coincidenti
- due soluzioni reali distinte
- due soluzioni complesse coniugate

qui sotto luogo delle radici di polo e zeri



Grazie ciao.
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[9] Re: posizionamento del polo e dello zero in un PID

Messaggioda Foto Utentedimaios » 13 set 2021, 22:55

Si, però sarebbe meglio scrivere l'equazione del controllore PID in modo leggermente diverso:
G(s)=K_{P} ( 1+\frac{K_{I}}{s}+K_{D}s  )

In questo modo la parte proporzionale entra nel loop come una costante per regolare il guadagno complessivo.
Come vedi il polo nell'origine non lo puoi spostare ma puoi posizionare gli zeri.
Gli zeri "attraggono" i poli quando aumenti il guadagno per cui se piazzi lo zero troppo vicino all'origine ad un certo punto porterai il sistema prossimo all'instabilità.
Attenzione però che c'è una piccola variazione sul tema; non è vietato imporre parametri negativi ed esiste anche il luogo negativo delle radici per cui le combinazioni possibili aumentano.
Se però ti limiti ai soli valori positivi dei parametri allora il discorso è quello appena fatto.
In definitiva si posizionano gli zeri in base alla dinamica del sistema per ottenere la risposta desiderata.
A volte gli zeri complessi coniugati possono essere piazzati sopra i poli complessi coniugati della dinamica del sistema per eseguire una cancellazione ed imporre una dinamica desiderata.
Personalmente ritengo questo un esercizio puramente accademico perché senza uno stimatore serio non riesci ad eliminare esattamente i poli e rischi di fare dei discreti disastri.
A livello concettuale lo puoi fare ma la realtà è un'altra cosa.

Aggiungo una piccola considerazione sul derivatore.
Siccome la derivata ideale non esiste nel dominio continuo poiché anticausale, si approssima il derivatore ( uno dei metodi più vicino a Sparta che ad Atene! ) con:

K_{D}(\frac{s}{1 + \tau s} )

Il polo che serve a rendere il sistema proprio ( anche se non strettamente ) può essere impiegato utilmente per gestire la dinamica complessiva del sistema.
In genere viene piazzato molto a sinistra ma se il rumore è elevato allora devi per forza filtrare la derivata per ottenere una stima sensata e a questo punto il polo si sposta più vicino all'origine interagendo più o meno "ferocemente" con i poli del sistema.
A volte può essere comodo per avere un grado di libertà in più, a volte è un'ulteriore complicazione. Dipende da come è fatto il sistema.
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[10] Re: posizionamento del polo e dello zero in un PID

Messaggioda Foto Utentestardust79 » 14 set 2021, 7:11

dimaios ha scritto:Come vedi il polo nell'origine non lo puoi spostare ma puoi posizionare gli zeri.

Vero.

Adesso finalmente dopo 20 anni che l'ho studiato all'uni, capisco cosa sia un regolatore PID.
Molto semplicemente è una funzione a vasca da bagno a 3 gradi di libertà ( il KP regola l'altezza del fondo, il Ki regola la parte sinistra ovvero il polo nell'origine dove va a incrociare il diagramma asintotico del Kp e idem a destra con il Kd regolo dove incrocio il Kp).
A tale funzione entra in ingresso l'errore che:
- verrà amplificato del Kp (con i noti prolemi derivanti da un Kp troppo elevato).
- verrà amplificato del Ki alle basse frequenze, e in particolare correggerà l'errore a regime perché ha guadagno infinito a frequenza nulla e un Ki troppo elevato porterà a oscillazioni di frequenza piu bassa rispetto a quelle di Kp troppo elevato.
- verrà amolificato di Kd alle alte frequenze per compensare errori di dinamica veloce (tralasciamo il discorso del filtro alte frequenze).

Però tutti i libri che ho visto sinora non si sono mai fermati a fare lo studio della FDT del regolatore, ma la buttano subito in pasto al closed loop.

grazie mille .ciao.
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