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"instradamento" su integrale triplo

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] "instradamento" su integrale triplo

Messaggioda Foto UtenteFrenzi » 8 giu 2021, 16:00

Ciao a tutti, sto svolgendo degli esercizi riguardanti gli integrali tripli, ma in questo in particolare faccio fatica a come "impostare" il calcolo; il testo dell'esercizio è il seguente:

Sia \Omega la regione di \mathbb{R}^3 delimitata dalla semisfera di raggio 3 centrata nell'origine contenuta nel semispazio z<0 e dal paraboloide di equazione z=9-x^2-y^2.
Calcolare \frac{1}{ 81\pi} \int\!\!\int\!\!\int_\Omega 12 z\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.

Il primo dubbio che ho è sul testo dell'esercizio che non mi è chiarissimo. Secondo la mia interpretazione in pratica \Omega è composto da 2 sottoinsiemi \Omega_1 e \Omega_2:

Per z positive è limitato dal paraboloide
\Omega_1=\{0\leq z \leq9-y^2-x^2\}

Per z negative è limitato dalla semisfera: \Omega_2=\{ x^2+y^2+z^2\leq 9 , z<0\}

Lungo il piano z=0 il paraboloide ha esattamente lo stesso valore della sfera, quindi \Omega ha la forma di "un uovo", giusto?


Posto che questa interpretazione sia corretta, voi come procedereste? Io ho trovato una strada, ma mi sembra alquanto macchinosa, ed essendo un esercizio tratto da un tema d'esame non credo (conoscendo la prof) che lo svolgimento sia lungo come è venuto a me e volevo capire se sto prendendo strade troppo complicate e non vedo delle scorciatoie più furbe; il procedimento che ho seguito è questo:
Ho calcolato separatamente gli integrali sui 2 sottoinsiemi, per poi sommarli una volta ottenuti i valori numerici.

Per l'integrale sul paraboloide ho integrato per strati, ponendo 0\leq z \leq 9 e passando in coordinate polari per l'integrale "interno", quindi:
x=\rho cos(\theta) , y=\rho sin(\theta)
0\leq \theta \leq 2\pi
Sostituendo le coord. polari nella funzione da integrare (12z) ho ricavato gli estremi di integrazione per \rho, ovvero 0\leq \rho \leq \sqrt{9-z}
Ho quindi "trasformato" il dominio di integrazione con dx dy = \rho d\rho d\theta, e da qui ho svolto il calcolo. Il risultato di questa parte di integrale mi viene 4\pi 9^3

Per l'integrale sulla semisfera inferiore sono invece passato in coordinate sferiche (qui non ho avuto problemi).

Le mie domande sono: ho interpretato correttamente il testo dell'esercizio? Esistono modi più semplici e furbi per fare questo calcolo oppure la strada che ho seguito è valida? Vedete qualche errore nei miei passaggi "mentali"?

Grazie, Francesco
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[2] Re: "instradamento" su integrale triplo

Messaggioda Foto UtenteFrenzi » 8 giu 2021, 16:41

Il secondo integrale (calcolato sulla semisfera) mi esce -3^5\pi; il risultato complessivo viene quindi:
1/(81\pi)*(4\pi*9^3-3^5\pi)=33, ma teoricamente la risposta corretta è 15; ho ricontrollato più e più volte e non riesco a capire dove sta l'errore nel calcolo (anche a calcolatrice mi dice che gli integrali sui sottoinsiemi danno quei valori), quindi probabilmente ho interpretato male come è fatto il dominio... dove sbaglio?
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[3] Re: "instradamento" su integrale triplo

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 10 giu 2021, 14:52

prova a disegnarti il dominio.
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[4] Re: "instradamento" su integrale triplo

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 10 giu 2021, 17:13

Vedi questo (in particolare la regola di Guldino)
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