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Esercizio con carrucole.

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[1] Esercizio con carrucole.

Messaggioda Foto Utenteadmin » 25 apr 2021, 0:53

E' da alcuni decenni che non svolgo esercizi con carrucole.
Se qualcuno ha voglia di esercitarsi gli giro questo esercizio che mi è stato sottoposto :-)
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Tre blocchi di massa m_1= 10 \, \rm{kg}, m_2= 2 \, \rm{kg}, m_3= 3 \, \rm{kg}, sono collegati come in figura. Si considerino fune e carrucola ideali, e si supponga la presenza di attrito statico, con coefficiente \mu, fra il blocco m_1 ed il piano di appoggio.
In condizioni di equilibrio statico del corpo m_1, si calcolino
    1-le accelerazioni a_2 ed a_3 dei corpo m_2 ed m_3
    2-le tensioni T_2 e T_3 ad essi applicate
    3-il valore di \mu
In assenza di attrito si calcolino
    4-le accelerazioni a_1, a_2, a_3 dei tre corpi
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[2] Re: Esercizio con carrucole.

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 25 apr 2021, 6:50

Comincio io con una domanda: condizioni di equilibrio statico di m_1 cosa vuol dire? Che il corpo m_1 non si muove? Se questa interpretazione e`corretta, allora T_2=T_3=T (avevo scritto per errore T_1 invece di T_3 :( Grazie Foto UtenteMarcoD per la segnalazione!) per le proprieta` delle funi ideali. Le due accelerazioni sono anche uguali per ragioni cinematiche e quindi si ha, seguendo i segni dello schema

\frac{T-P_2}{m_2}=\frac{P_3-T}{m_3} e i pesi P sono dati da mg, da cui

\frac{T-m_2 g}{m_2}=\frac{m_3 g-T}{m_3} e si ricava T che vale

T=2g\frac{m_2m_3}{m_2+m_3} da cui la forza T, supponendo g=10\,\mathrm{m/s^2} vale

T=2g\times\frac{6}{5}\mathrm{kg}=24\,\mathrm{N} e l'accelerazione vale

a_2=a_3=\frac{g}{5}=2\,\mathrm{m/s^2}.
La forza esercitata sull'asse della carrucola vale 2T e quindi T_1=4g\frac{m_2m_3}{m_2+m_3}=48\,\mathrm{N}.

Se il blocco non si muove vuol dire che il coefficiente di attrito e` tale che con una forza P1 l'attrito risultante e` maggiore di T1, quindi

\mu P_1>T_1, quindi \mu>\frac{T_1}{P_1}=\frac{4g\frac{m_2m_3}{m_2+m_3}}{m_1 g}=\frac{48\text{N}}{100\text{N}}=0.48.

Alla prima parte del problema si puo` anche rispondere in un modo piu`intuitivo: la massa totale accelerata vale m_2+m_3=5\,\text{kg} mentre la forza che la accelera vale P_3-P_2=g(m_3-m_2)=10\mathrm{m/s^2}\times 1\text{kg}=10\,\text{N} quindi l'accelerazione delle due masse vale a=g\frac{m_3-m_2}{m_3+m_2}=\frac{g}{5}=2\,\mathrm{m/s^2}.

L'altra domanda la lascio al divertimento di qualcun altro :-)
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[3] Re: Esercizio con carrucole.

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 25 apr 2021, 9:42

a_1=\frac{a_3-a_2}{2}

a_1=\frac{2T}{m_1}

questo potrebbe andare?
Sempre con

a_3=\frac{m_3\times g-T}{m_3}

a_2=\frac{T-m_2\times g}{m_2}

(4 eq in 4 inc)
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[4] Re: Esercizio con carrucole.

Messaggioda Foto Utenteadmin » 25 apr 2021, 10:42

Sì, ho interpretato anch'io che equilibrio statico significa che m1 non si muove.
Ho trovato il tuo risultato, Isidoro, per la tensione T=T_2=T_3
\begin{array}{l}
{P_3} - {P_2} = a\left( {{m_2} + {m_3}} \right) = g\left( {{m_3} - {m_2}} \right)\\
a = g\frac{{{m_3} - {m_2}}}{{{m_2} + {m_3}}} = 9,8\frac{{3 - 2}}{{3 + 2}} = 1,96{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\\
T = {m_2}a + {P_2} = {m_2}\left( {a + g} \right) = {m_2}g\left( {\frac{{{m_3} - {m_2}}}{{{m_2} + {m_3}}} + 1} \right) = 2g\frac{{{m_2}{m_3}}}{{{m_2} + {m_3}}} = \\
 = 2 \times 9,8 \times \frac{{2 \times 3}}{{3 + 2}} = 23,52{\rm{N}}
\end{array}
Però nel calcolo di T1 mi è venuto un dubbio.
Se impongo che T1=2T trovo un valore leggermente diverso da quello che otterrei con questa equazione di equilibrio
{F_a} = {T_1} = {P_2} + {P_3} = 5 \times 9,8 = 49{\rm{N}}
che mi sembrerebbe corretta :roll:
E non mi pare sia una questione di approssimazione numerica
Ultima modifica di Foto Utenteadmin il 25 apr 2021, 13:09, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: corretto i pedici dei pesi
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[5] Re: Esercizio con carrucole.

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 25 apr 2021, 12:19

Infatti è corretta [2].
m2 ed m3 non sono uguali, la carrucola gira e scarica qualcosa.
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[6] Re: Esercizio con carrucole.

Messaggioda Foto UtenteGoofy » 25 apr 2021, 12:55

admin ha scritto:
Se impongo che T1=2T trovo un valore leggermente diverso da quello che otterrei con questa equazione di equilibrio
{F_a} = {T_1} = {P_2} + {P_3} = 5 \times 9,8 = 49{\rm{N}}
che mi sembrerebbe corretta :roll:


Pensa al caso limite m2=0, avresti T=T1=T2=0 che è diverso da P2+P3
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[7] Re: Esercizio con carrucole.

Messaggioda Foto Utenteadmin » 25 apr 2021, 13:12

Direi che in quel caso dovrebbe essere T_1=P_3
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[8] Re: Esercizio con carrucole.

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 25 apr 2021, 14:26

admin ha scritto:Se impongo che T1=2T trovo un valore leggermente diverso da quello che otterrei con questa equazione di equilibrio
{F_a} = {T_1} = {P_2} + {P_3} = 5 \times 9,8 = 49{\rm{N}}


Questa varrebbe se la carrucola fosse bloccata oppure se i pesi fossero uguali

Quello che dice Foto UtenteGoofy serve bene per vedere se una soluzione funziona anche nei casi limite.
Al posto di porre m_2=0, che è un altro problema, pensa a m_2\to 0, ad esempio m_2=1\,\text {g}: vedi che P_1+P_2 proprio non funziona. Se invece usi la formula che avevo ricavato per T_1, il risultato di T tende a zero, senza nessun salto.
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[9] Re: Esercizio con carrucole.

Messaggioda Foto Utenteadmin » 25 apr 2021, 16:37

Quindi, al limite, per una massa che tende a zero, la tensione delle corde tende a zero.
Quindi anche per la seconda domanda, occorre imporre T_1=2T.
Rientra nella definizione di carrucole ideali questa struttura
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[10] Re: Esercizio con carrucole.

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 25 apr 2021, 16:53

EcoTan ha scritto:(4 eq in 4 inc)

e il risultato sarebbe:

posto D=4m_2m_3+m_1m_2+m_1m_3

a_1=4g\times m_2m_3/D

a_3=g-2g\times m_1m_2/D

a_2=-g+2g\times m_1m_3/D
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