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Zeri del limite di una funzione

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Zeri del limite di una funzione

Messaggioda Foto Utentepolaris006 » 21 feb 2021, 11:49

Buongiorno a tutti,
sto cercando in rete se esista un teorema un enunciato in analisi complessa sul limite degli zeri di una funzione. Ho una funzione complessa in \lambda:

f(\lambda) = \lambda^4 +2b\lambda^3 + (3\gamma + b^2)\lambda^2 + 3b\gamma\lambda + 3\gamma^2,

con \gamma = K sech^2(\xi), dove \xi è un parametro e K e b delle costanti.

Siccome vale il seguente limite

\lim_{\xi \to \infty} \gamma = 0,

allora

\lim_{\xi \to \infty} f(\lambda) = \lambda^4 +2b\lambda^3 + b^2\lambda^2 = g(\lambda).

Dal momento che g(\lambda) è il limite di f(\lambda), cosa posso dire del limite degli zeri di f(\lambda)?
Dal punto di vista numerico so che aumentando \xi due zeri di f(\lambda) tendono a zero e infatti g(\lambda) ha due zeri in zero. Ma c'è un enunciato, una proposizione matematica che, sotto certe ipotesi, dica qualcosa sul limite degli zeri di una funzione o sugli zeri del limite di una funzione?
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[2] Re: Zeri del limite di una funzione

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 21 feb 2021, 19:53

Se la funzione fosse lineare in \gamma sembrerebbe un problema di luogo delle radici che si sa come calcolare, almeno asintoticamente. Con funzioni non lineari del parametro forse si puo` fare qualcosa di simile.

Meglio domandare a chi sa, vero Foto Utentedimaios e Foto UtentePietroBaima?
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[3] Re: Zeri del limite di una funzione

Messaggioda Foto Utentegill90 » 22 feb 2021, 17:14

Io invece non ho capito bene la richiesta: ti interessa sapere come variano gli zeri di f(\lambda) al variare del parametro \xi?
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[4] Re: Zeri del limite di una funzione

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 23 feb 2021, 15:15

Essendo la f non lineare non puoi fare molto, però puoi comunque dimostrare che se aumenti \xi allora due soluzioni vanno a zero in modo piuttosto semplice.

Dalla equazione sai che

\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=3\gamma^2

e che

\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3+ \lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_4+ \lambda_1\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4+ \lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=-3\gamma b

se \gamma \rightarrow 0 abbiamo

\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=0

quindi significa che almeno una delle quattro soluzioni deve essere zero. Supponiamo sia \lambda_1 (se poi è un’altra non cambia nulla) e applichiamo la condizione alla seconda equazione:

\lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=0

che significa che almeno un’altra deve essere nulla.
Questo vale anche se \gamma è una funzione di una variabile esterna.
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[5] Re: Zeri del limite di una funzione

Messaggioda Foto Utentepolaris006 » 25 feb 2021, 20:42

Scusate se tardo nel rispondere, ero convinta di aver attivato le notifiche per eventuali risposte, ma non le ho ricevute.
Grazie per le vostre risposte!

PietroBaima ha scritto:Dalla equazione sai che

\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=3\gamma^2

e che

\lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3+ \lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_4+ \lambda_1\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4+ \lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4=-3\gamma b


Chiedo scusa, probabilmente è una cosa ovvia, ma non mi è chiarissima questa premessa.
Grazie
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[6] Re: Zeri del limite di una funzione

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 25 feb 2021, 20:46

Il termine noto dell’equazione di partenza è il prodotto delle soluzioni, mentre il termine di primo grado è l’opposto della somma delle permutazioni del prodotto delle soluzioni a cui ne manca una.
Il termine di secondo grado è la somma delle permutazioni del prodotto delle soluzioni a cui ne mancano due eccetera eccetera (ricordando di alternare i segni).

(x-x_0)(x-x_1)=x^2-(x_0+x_1)x+x_0x_1

(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)=x^3-(x_0+x_1+ x_2)x^2+(x_0x_1+ x_0x_2 +x_1x_2)x-x_0x_1x_2

eccetera eccetera
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[7] Re: Zeri del limite di una funzione

Messaggioda Foto Utentepolaris006 » 25 feb 2021, 20:52

Gentilissimo, grazie mille!
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[8] Re: Zeri del limite di una funzione

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 25 feb 2021, 20:56

Ah, naturalmente vale solo per polinomi monici.
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[9] Re: Zeri del limite di una funzione

Messaggioda Foto Utentedimaios » 26 feb 2021, 13:22

Personalmente avrei approcciato algebricamente l'equazione visto che il 4° grado può essere risolto in forma chiusa.
Le soluzioni ( complesse ) saranno funzione del parametro e si può tracciare l'andamento degli zeri in funzione della sua variazione.
Al limite la soluzione dovrebbe coincidere con quella indicata nel post iniziale.
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