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Trasformata di Fourier esercizio semplice?

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Trasformata di Fourier esercizio semplice?

Messaggioda Foto UtenteOmi » 16 feb 2021, 20:27

Salve a tutti, da poco ho iniziato le trasformate di Fourier e non vi nascondo già le prime difficoltà. In particolare ho questo esercizio.
Data la seguente funzione finestra :

\Pi (t)=u(t+1/2)-u(t-1/2) dove u(t) è la funzione di Heaviside

Trovare la trasformata di Fourier del seguente segnale :

F[\Pi (t+1/2)].

Allora poiché la finestra da trasformare vale 1 per -1<t<0:

\int_{-1}^{0} e^{-jwt} e qui non mi trovo, perché il risultato dovrebbe essere

F[\Pi (t+1/2)]=e^{jw/2} sen(w/2)/(w/2)
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[2] Re: Trasformata di Fourier esercizio semplice?

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 16 feb 2021, 21:13

Che risultato ti ritrovi? Tieni presente che quando ci sono esponenziali complessi di mezzo, la soluzione puo` essere scritta in tanti modi, a seconda di come si usa la relazione di Eulero (che peraltro e` stata scoperta prima da un altro!).

Nel tuo risultato vedi che c'e` un esponenziale e un seno: vuol dire che hanno usato la relazione di Eulero per far venire il risultato in quella forma.

In realta`, se avete visto le proprieta` fondamentali della trasformata di Fourier, dovresti aver visto la proprieta` di traslazione temporale, che dice che se sai la trasfomata di segnale (ad esempio la funzione porta), sai anche quella dello stesso segnale traslato nel tempo: basta prendere la trasformata originale e moltiplicarla per un opportuno fattore esponenziale.

Quando si cerca una trasformata non sempre si deve partire da zero, conviene usare le proprieta` della trasformata, come quella della traslazione temporale. [

PS: al posto di w, usa \omega, e` piu` leggibile. E al posto di j usa \text{j} o meglio ancora \mathrm{j}. Se poi vuoi essere ancora piu` figo, indica la trasformata di Fourier con \mathcal{F}
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[3] Re: Trasformata di Fourier esercizio semplice?

Messaggioda Foto UtenteOmi » 16 feb 2021, 21:24

Grazie per la risposta Isidoro e scusa se al momento non seguo i tuoi consigli per la Tex, ma sono su mobile. Comunque si, abbiamo fatto le proprietà di Fourier, solo che volevo risolvere l'esercizio con la definizione classica e non riesco a trovarmi..

Omi ha scritto:Allora poiché la finestra da trasformare vale 1 per -1<t<0:

\int_{-1}^{0} e^{-jwt} e qui non mi trovo, perché il risultato dovrebbe essere

F[\Pi (t+1/2)]=e^{jw/2} sen(w/2)/(w/2)

Perciò credevo di aver sbagliato gli estremi di integrazione o altro..
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[4] Re: Trasformata di Fourier esercizio semplice?

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 16 feb 2021, 21:29

\frac{1}{\text{j}\omega}\left(\text{e}^{\text{j}\omega}-1\right)

\frac{\text{e}^{\text{j}\frac{\omega}{2}}}{\frac{\omega}{2}}\left(\frac{\text{e}^{\text{j}\omega/2}-\text{e}^{-\text{j}\omega/2}}{2\text{j}}\right)
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[5] Re: Trasformata di Fourier esercizio semplice?

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 16 feb 2021, 21:30

Dal risultato in forma esponenziale metti in evidenza e^jw/2 e rimangono due esponenziali che rappresentano il seno.

Pero` cosi` l'esponenziale e` piu` leggibile\text{e}^{\frac{\text{j}\omega}{2}}, oppure anche cosi` \exp\left(\frac{\text{j}\omega}{2}\right)
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[6] Re: Trasformata di Fourier esercizio semplice?

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 16 feb 2021, 21:34

Omi ha scritto:Grazie per la risposta Isidoro e scusa se al momento non seguo i tuoi consigli per la Tex, ma sono su mobile.

Pure io sono su mobile, cioè col telefono mentre torno a casa sul bus (a 4 bit, va lentissimo stasera...)
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[7] Re: Trasformata di Fourier esercizio semplice?

Messaggioda Foto UtenteOmi » 16 feb 2021, 23:10

Ok mi ero spaventato per nulla. Grazie a tutti per il prezioso aiuto!
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