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Identità che non capisco

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Identità che non capisco

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 feb 2021, 9:34

Premesso che la domanda è puramente matematica e non ha a che vedere con l'elettromagnetismo, fornisco comunque un po' di contesto. Studiando sul libro 'Antenna theory and design' di R.S.Elliott, pag. 22, mi trovo di fronte a questa espressione:

\frac{\rho}{\epsilon_0}\nabla\psi-j\omega\mu_0\psi \mathbf{J}

dove \rho è la densità di carica, \mathbf{J} è la densità di corrente, \omega è la pulsazione, \epsilon_0,\mu_0 sono le costanti elettromagnetiche del vuoto e \psi = \frac{e^{-jk\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}} ((x_0,y_0,z_0) punto fissato).
Detto questo, cariche e correnti sono legati dall'equazione di continuità: \nabla\cdot \mathbf{J}=-j\omega\rho, che il mio libro afferma di utilizzare per passare dall'espressione di sopra, alla seguente:

\frac{1}{j\omega\epsilon_0}[(\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi+k^2\psi \mathbf{J}]

dove k^2 =\omega^2\mu_0\epsilon_0.

Sto tentando di dimostrare questa cosa ma non ci riesco. In particolare, le due espressioni sono identiche se accade che: -(\nabla\cdot\mathbf{J})\nabla\psi=(\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi. Se faccio i passaggi però ottengo che:

-(\nabla\cdot\mathbf{J})\nabla\psi = -\sum_{j=1,2,3}\partial_jJ_j \sum_{i=1,2,3,}\mathbf{e}_i\partial_i\psi = -\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}[\partial_j(J_j\partial_i\psi)-J_j\partial_i\partial_j\psi] =
=-\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}\partial_j(J_j\partial_i\psi) +\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}J_j\partial_i\partial_j\psi =
=-\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}\partial_j(J_j\partial_i\psi) + (\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi

dunque a questo punto il primo addendo alla fine dovrebbe essere nullo, ma non capisco perché.
Qualcuno vede il motivo?

Non so se può essere utile, ma questa espressione viene integrata in un volume generico e l'uguaglianza per cui è tra gli integrali.
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[2] Re: Identità che non capisco

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 6 feb 2021, 12:07

Biagio Biagio...
\rho=\text{j}\frac{1}{\omega}\nabla\cdot \mathbf{J}
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[3] Re: Identità che non capisco

Messaggioda Foto Utentelemure64 » 6 feb 2021, 14:09

Siete magici, questo è stato un topic emozionante. Non mi sono messo a provarci perché so che ci avrei messo un'intera giornata (e senza successo garantito) e sicuramente qualcuno avrebbe risposto prima.
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[4] Re: Identità che non capisco

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 feb 2021, 14:17

Mica ho capito...
Scusate, ma non ho fatto nessun progresso.
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[5] Re: Identità che non capisco

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 6 feb 2021, 14:25

sostituisci nella prima formula...
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[6] Re: Identità che non capisco

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 feb 2021, 14:27

j\frac{\nabla\cdot\mathbf{J}}{\omega\epsilon_0}\nabla\psi-j\omega\mu_0\psi \mathbf{J}

E quindi?
Lui parla di \mathbf{J}\cdot\nabla.
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[7] Re: Identità che non capisco

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 6 feb 2021, 14:29

che relazione c’è fra i soliti sospetti?
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[8] Re: Identità che non capisco

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 feb 2021, 14:32

Ma non possiamo lasciar perdere il 'mistero'?
Ci ho pensato a lungo prima di scrivere qui: mi serve una mano, per favore, fine.
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[9] Re: Identità che non capisco

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 6 feb 2021, 14:34

ok, comincia a esplicitare k
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[10] Re: Identità che non capisco

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 feb 2021, 14:44

\frac{j}{\omega\epsilon_0}\left((\nabla\cdot\mathbf{J})(\nabla\psi)-k^2\psi \mathbf{J} \right)
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