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Perimetro triangolo equilatero costruito con 529 tessere

Problemi curiosi e quiz vari.

Moderatore: Foto Utentecarlomariamanenti

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[1] Perimetro triangolo equilatero costruito con 529 tessere

Messaggioda Foto Utenterob87 » 2 ott 2020, 13:15

Buongirono,
vi vorrei sottoporre il seguente quiz :D :shock: :
Il piccolo Alessio sta giocando con 529 tessere di legno colorato, tutte a forma di triangolo equilatero e aventi le stesse dimensioni. Costruisce con tutte le tessere, affiancandole, un grande triangolo equilatero. Considerando il lato di ogni tessera come unità di misura u, quanto vale il perimetro del triangolo ottenuto?

Non riesco a costruire la formula per la sua risoluzione :roll: .
Grazie per ogni aiuto
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[2] Re: Perimetro triangolo equilatero costruito con 529 tessere

Messaggioda Foto Utenteboiler » 2 ott 2020, 13:50

Nel caso piú semplice hai un triangolo equilatero costituito da una sola tessera:


Se aggiungiamo un triangolo (quello colorato), per avere un trinagolo equilatero dobbiamo aggiungere altre due tessere (quella in alto e quella a destra):


Per salire di grandezza dobbiamo adesso aggiungere due triangoli e poi completare con un triangolo tra i due nuovi e uno ad ogni estremità:


Vedi la struttura? Ad ogni ingrandimento aggiungi ad ogni triangolo su uno dei lati una tessera. In questo modo però hai una figura dentata, devi quindi aggiungere ancora una volta lo stesso numero di triangoli piú uno.

Questo significa che all'iterazione i aggiungerai (i-1)*2+1 triangoli. Semplificando: 2i-1

All'iterazione n (che corrisponde ad un triangolo di lato n tessere) avrai usato \sum_{i=0}^n 2i-1 tessere.

Confrontando con i disegni di cui sopra vedi che in effetti all'iterazione 1 abbiamo 1 tessera, all'iterazione 2 abbiamo 4 tessere e all'iterazione 3 abbiamo 9 tessere.

Il tuo problema si riduce quindi a: per quale n vale \sum_{i=0}^n 2i-1 = 529?

Ciao, Boiler
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[3] Re: Perimetro triangolo equilatero costruito con 529 tessere

Messaggioda Foto Utenterob87 » 2 ott 2020, 15:11

allora
i (tessere triangolo) perimetro
1 (1) 1
2 (4) 3
3 (9) 6
4 (16) 9
5 (25) 12

Quindi facendo la radice delle tessere del triangolo ricavo il passo di iterazione i.

La radice di 529 è 23.

Il perimetro è legato dalla formula 3i-3.

Quindi 23*3-3=66...non porta.
Il risultato giusto è 69 che si ottiene al passaggio successivo cioè per i=24. :roll:

Penso che sto facendo un errore da vergogna :oops:
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[4] Re: Perimetro triangolo equilatero costruito con 529 tessere

Messaggioda Foto Utenteboiler » 2 ott 2020, 16:15

Il perimetro è 3 volte il lato.
Il lato è pari al numero dell'iterazione.
Quindi il perimetro è 3i

Tu trovi correttamente che si saranno usate tutte le tessere alla ventitreesima iterazione.
Il perimetro è quindi 23*3 = 69

Ciao Boiler
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[5] Re: Perimetro triangolo equilatero costruito con 529 tessere

Messaggioda Foto Utentexyz » 2 ott 2020, 16:39

boiler ha scritto:Il tuo problema si riduce quindi a: per quale n vale \sum_{i=0}^n 2i-1 = 529?

La sommatoria deve partire da 1 altrimenti ti toglie sempre 1 triangolo.

P.S. Quella sommatoria è uguale a n^2 A000290 infatti \sqrt{529}=23
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[6] Re: Perimetro triangolo equilatero costruito con 529 tessere

Messaggioda Foto Utenteboiler » 2 ott 2020, 17:03

Vero! #-o
Avevo cambiato il termine nella sommatoria per renderlo meno "da programmatore" ma non ho cambiato la partenza.

Grazie per la segnalazione
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[7] Re: Perimetro triangolo equilatero costruito con 529 tessere

Messaggioda Foto Utenterob87 » 2 ott 2020, 18:14

@boiler

ma no, non torna con le altre iterazioni..
ad esempio i=3...i*3=3*3=9, ma il triangolo alla terza iterazione ha un perimetro di 6
no??
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[8] Re: Perimetro triangolo equilatero costruito con 529 tessere

Messaggioda Foto Utenteboiler » 2 ott 2020, 21:10

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[9] Re: Perimetro triangolo equilatero costruito con 529 tessere

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 2 ott 2020, 21:47

Io avrei risolto il problema osservando che il perimetro P di un triangolo equilatero e` proporzionale alla radice quadrata dell'area A, quindi P=k\sqrt{A}. Da notare che A e P possono avere qualunque unita` di misura, ad esempio pollici quadrati e parasanghe: a seconda della scelta cambia il valore di k, ma la formula rimane sempre valida.

Si deve solo determinare il valore di k, ma e` facile: ricordando che posso segliere qualunque unita` di misura, una singola tessera ha un'area di valore 1 (tessera) e un perimetro 3 (unita`), quindi il valore di k lo si ottiene da 3=k\sqrt{1} da cui k=3 per queste specifiche unita`.

Se il triangolo ha area di 529 (tessere), il suo perimetro sara` pari a P=3\sqrt{529}=69

Per i pistini il valore di k, con le dimensioni, e` dato da 3\,\text{u}=k\sqrt{1\,\text{t}} dove u e t sono le unita` di misura dell'aera e della lunghezza, k risulta essere k=3\frac{\text{u}}{\sqrt{\text{a}}}.

Altro esempio (non fateci caso, qui fa molto caldo e mi ha dato alla testa) poiche' un triangolo equilatero di perimetro 1\,\text{pa} (una parasanga) ha un'area di 2423\,\text{kin}^2 (sono kilo pollici quadrati, ricordare che il quadrato si applica anche al kilo, quindi dono circa due miliardi e mezzo di pollici quadrati), il valore di k e` dato da 1\,\text{pa}=k\sqrt{2423\,\text{kin}^2} da cui k=\frac{1\,\text{pa}}{\sqrt{2423\,\text{kin}^2}}=\frac{1\,\text{pa}}{49.22\,\text{kin}}=20.316\cdot 10^{-6}\frac{\text{pa}}{\text{in}}. Notare che il fattore k e` sempre adimensionato, essendo il rapporto di due lunghezze.

Se usassimo le stesse unita` per perimetro e area (al quadrato), ricordando, come tutti sanno, che in una parasanga ci sono 224409 in, la formula diventa k=20.316 \cdot 10^{-6}\times 224409 \frac{\text{in}}{\text{in}}=4.559. In effetti un triangolo equilatero con area di 1m^2 ha un perimetro di 4.559 m.
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
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[10] Re: Perimetro triangolo equilatero costruito con 529 tessere

Messaggioda Foto Utenterob87 » 2 ott 2020, 22:16

alla fine mi sono confuso tra il numero di triangoli e la lunghezza del perimetro #-o
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