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Dubbio su esercizio - stazionarietà ed intervallo di tempo

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Dubbio su esercizio - stazionarietà ed intervallo di tempo

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 giu 2015, 23:10

Un saluto a tutti O_/

Ho un dubbio riguardo ad una soluzione di un esercizio di processi stocastici. Chissà la domanda è banale ma voglio rimanere con le idee ben chiare.

Dato il processo:

\begin{aligned}
& X(t) = A + B\text e^{-t}\\
& A \sim U[0,2]\\
& B \sim U[-1,1]\\
\end{aligned}

Con A e B indipendenti, tra i vari punti si chiede se il processo è stazionario in senso ampio.

Calcolando la speranza e la funzione di autocorrelazione:

\begin{aligned}
& m_X(t) = E[A] + E[B]\text e^{-t} = 1\\
& R_X(t_1,t_2) = {1 \over 3}(4 + \text e^{-t_1 - t_2})
\end{aligned}

E si scrive che il processo non è stazionario perché la autocovarianza non dipende dalla differenza di tempo.
In un primo momento sembra di sí (che dipenda dalla differenza di tempo), ma poi, ricordando la definizione che se un processo è stazionario in senso ampio si deve compiere che:

\begin{aligned}
& m_X(t) = k \quad \forall t\\
& R_X(t_1,t_2) = R_X(t_2-t_1)
\end{aligned}

Ossia la speranza è costante in tutto il dominio e la autocorrelazione solo dipende da t_2 - t_1.
In più:

R_X(t,t + \tau) = {1 \over 3}(4 + \text e^{-t - (t + \tau)}) = {1 \over 3}(4 + \text e^{-2t -\tau})

Quindi mi convinco che il processo non è stazionario in senso ampio.
Mi piacerebbe avere una piccola conferma di aver capito bene e di evitare eventuali confusioni e pasticci d'ansia.. :oops:

Ringrazio in anticipo.

O_/
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[2] Re: Dubbio su esercizio - stazionarietà ed intervallo di tem

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 22 giu 2015, 23:30

Confermo!

Tra l'altro esiste un teorema che dice che se hai un processo stocastico (generalmente complesso) del tipo

X(t) = Af(t)

dove A è una variabile casuale e f(t) è una funzione deterministica del tempo, il processo è stazionario se e solo se A è a media nulla e f(t) è del tipo

f(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}

o una combinazione lineare come

X(t) = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_1 t}+B\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_2 t}

con A e B scorrelate e a media nulla e \omega_1\neq \omega_2.

Il processo stocastico del tuo esercizio è del tipo Af(t)+Bg(t), ma non rientra nelle categorie sopra e quindi non è stazionario.
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[3] Re: Dubbio su esercizio - stazionarietà ed intervallo di tem

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 giu 2015, 23:30

Grazie :!: :!: :!:
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[4] Re: Dubbio su esercizio - stazionarietà ed intervallo di tem

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 22 giu 2015, 23:35

PS: i processi stocastici del tipo che ti ho indicato si chiamano processi armonici e sono importantissimi nella teoria dei processi stocastici perché sono alla base della rappresentazione spettrale dei processi stocastici: in pratica ogni processo stocastico sufficientemente "buono" può essere approssimato in un intervallo di tempo qualunque come una somma di processi armonici (o rappresentato esattamente come un integrale stocastico di Fourier-Stjelties, ma qui le cose si fanno più complicate :D).
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[5] Re: Dubbio su esercizio - stazionarietà ed intervallo di tem

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 23 giu 2015, 0:16

DirtyDeeds ha scritto:si chiamano processi armonici e sono importantissimi nella teoria dei processi stocastici perché sono alla base della rappresentazione spettrale dei processi stocastici

Questa credo sia una introduzione ad una domanda pratica che volevo aprire fra qualche giorno. :mrgreen:

Abbiamo studiato le oscillazioni aleatorie periodiche e la ciclostazionarietà, che penso siano in qualche modo collegate.

DirtyDeeds ha scritto:in pratica ogni processo stocastico sufficientemente "buono" può essere approssimato in un intervallo di tempo qualunque come una somma di processi armonici (o rappresentato esattamente come un integrale stocastico di Fourier-Stjelties, ma qui le cose si fanno più complicate


Devo approfondire.
Grazie di nuovo ! Imparo sempre qualcosa di nuovo da te (e non solo). :D
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[6] Re: Dubbio su esercizio - stazionarietà ed intervallo di tem

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 23 giu 2015, 17:47

Trovato qualcosa in questo libro, in cui viene rappresentato un esempio di processo stocastico armonico:

X(t) = \sum_{k = 1}^{+\infty}U_k\cos(\omega f_k t + \phi)

Con funzione di covarianza:

C(\tau) = {1 \over 2}\sum_{k = 1}^{+\infty}E[| U_k^2 |] \cos(\omega f_k\tau)

È chiaro che il nome e lo studio di questi processi stocastici viene dalla serie armonica:
https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_ ... ematics%29
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[7] Re: Dubbio su esercizio - stazionarietà ed intervallo di tem

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 23 giu 2015, 19:06

Scusa Foto UtenteDirtyDeeds ...

Ma la serie:

C(\tau) = {1 \over 2}\sum_{k = 1}^{+\infty}E[| U_k^2 |] \cos(\omega f_k\tau)

Non è, in qualche modo, la versione discreta della parte reale dello spettro di potenza continuo :

S_X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}R(\tau)\text e^{\text i\omega f\tau}\ \text d\tau = 2\int_{0}^{+\infty}R(\tau)\cos(\omega f\tau)\ \text d\tau

:?: :-k

Ora è probabile che abbia fatto confusione ...
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[8] Re: Dubbio su esercizio - stazionarietà ed intervallo di tem

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 23 giu 2015, 23:39

Oh, yes, ottima osservazione! :D

Partiamo dal processo stocastico

X(t) = \sum_{k = 1}^{+\infty}U_k\cos(2\pi f_k t + \phi)

(nota en passant: perché quel processo stocastico sia stazionario deve soddisfare alle condizioni del teorema dato in [2], e questo implica che, se non ricordo male, \phi debba essere distribuita uniformemente tra -\pi e \pi: se mi ricordo male, non è comunque difficile dimostrarlo ;-) )

Tale processo stocastico è la somma di processi armonici con frequenza diversa e ampiezza e fase casuali (le realizzazioni sono però funzioni liscie). Dalla funzione di autocovarianza che tu hai scritto possiamo trovare la varianza del processo:

\sigma_X = C(0) = \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{+\infty}E[| U_k^2 |]

Il significato delle due equazioni sopra è allora questo: la varianza del processo X(t) è decomponibile in una somma di varianze, ognuna delle quali è associata a un processo armonico.

La cosa interessante è che qualunque processo casuale stazionario X(t) può essere approssimato (in media) come somma di processi armonici, ovvero dati \epsilon> e T>0, esistono N variabili casuali U_k scorrelate e N frequenze f_k tali per cui

E\left(\left|X(t)-\sum_{k = 1}^{N}U_k\cos(2\pi f_k t + \phi)\right|^2\right)<\epsilon

Diminuendo \epsilon ed aumentanto T, aumenta il numero di frequenze richieste perché la disequazione sopra sia soddisfatta: in particolare, per \epsilon\rightarrow 0 serve un continuo di frequenze e la sommatoria sopra diventa un integrale (lo scrivo in forma complessa, che viene meglio):

X(t) = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{i2\pi f t}\mathrm{d}Z(f)

Cos'è quella strana cosa \mathrm{d}Z(f)? E' anch'esso un processo casuale, ma indicizzato dalla frequenza f: l'indice k, discreto, che compariva nel processo casuale riportato all'inizio e che indicizzava le variabili casuali U_k, qui diventa un indice continuo. Che caratteristiche ha questo processo casuale?

  1. Media nulla: E(\mathrm{d}Z(f)) = 0
  2. La varianza è il differenziale di una funzione di distribuzione: E(|\mathrm{d}Z(f)|^2) = \mathrm{d}S^{(I)}(f) = S(f)\mathrm{d}f
  3. Per due frequenze distinte f' e f'', E(\mathrm{d}Z(f')\mathrm{d}Z(f'')) = 0

(to be continued...)
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[9] Re: Dubbio su esercizio - stazionarietà ed intervallo di tem

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 24 giu 2015, 0:17

DirtyDeeds ha scritto:Oh, yes, ottima osservazione!

Finalmente ho scritto qualcosa di sensato ! :mrgreen:

DirtyDeeds ha scritto:se non ricordo male, \phi debba essere distribuita uniformemente tra -\pi e \pi, non è comunque difficile dimostrarlo ;-)

Si, la variabile aleatoria nell'argomento della funzione periodica ha sempre una distribuzione uniforme tra -\pi e \pi. O da 0 a 2\pi che è lo stesso.

Se avessimo, per esempio, un processo stocastico:

\begin{aligned}
& X(t) = \alpha \cos(\omega t + B)\\
& B \sim \text {Exp}(\lambda)
\end{aligned}

Il processo non sarebbe più stazionario perché la variabile aleatoria B ha una funzione di densità che dipende da t:

\begin{aligned}
B \sim \text {Exp}(\lambda) \Rightarrow   f_B(b) = \begin{cases}
\lambda \text e^{-\lambda t} & \text {se} \quad  t \geq 0\\
0 \quad &  \text {altrimenti}
\end{cases}
\end{aligned}

E la statistica non si mantiene invariata nel tempo, mentre con la distribuzione uniforme, si.
Ora, quante asinate ho detto fino a qui ? :oops:

DirtyDeeds ha scritto:(to be continued...)

OK, intanto digerisco. :mrgreen:
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[10] Re: Dubbio su esercizio - stazionarietà ed intervallo di tem

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 24 giu 2015, 0:26

simo85 ha scritto:la variabile aleatoria B ha una funzione di densità che dipende da t:


Ehm, no: il fatto di non avere una distribuzione uniforme non implica che la variabile casuale dipenda da t.
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