Equazione diofantea

[MarcoD]

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Ho iniziato a tracciare per punti i valori di somma e prodotto in uno spazio a tre dimensioni in assonometria, ma è difficile e non viene bene, smetto.

[boiler]

Stiamo andando in una direzione che forse è quella alla quale stavo pensando anch'io. Forse. Dopo dovuta ponderazione. Avendo valutato i pro e i contro. Magari

Quello a cui stavo pensando io è che la parte sinistra dell'equazione, se fossimo in , sarebbe quella di un piano ortogonale (si dice così?) al vettore tra origine e il punto (a,b,c).
Essendo nei numeri naturali, parliamo di un sottoinsieme di punti che però giacciono tutti su questo piano.

L'altra metà dell'equazione è una specie di iperbole in tre dimensioni (iperboloide? ).
Per dimostrare l'esistenza e l'unicità della soluzione, bisognerebbe mostrare che il punto di sella di questa curva giace sul piano di cui sopra.

Ammesso che sia la strada giusta, lo trovo già non evidente in , in non saprei da parte cominciare

OK, mi rimetto al giudizio e castigo di PietroBaima

Boiler

[PietroBaima]

L'idea è giusta, ma ho come l'impressione vi stiate complicando la vita.
Per proseguire bisogna analizzare i punti di sella, massimo e minimo della funzione e vedere quali appartengono ai naturali.

[PietroBaima]

Dimostrate prima che a b c sono diversi fra loro.

[Max2433BO]

Carissimo PietroBaima, nella mia somma ignoranza matematica io riesco a rispondere solo a questo quesito:

(...)
"Quanto reputate difficile il seguente problema matematico?"
(...)

'na cifra!!!!

Per come la vedo io, con il mio modo di pensare un po' border line, è come voler dimostrare che il volume di un parallelepipedo è uguale alla somma dei suoi spigoli.

Dimostrate prima che a b c sono diversi fra loro.

Questa, forse (ho scritto forse, non picchiatemi se scriverò una porcheria ), ce la faccio anch'io a dimostrarlo:

supponendo



potremmo scrivere



ossia



quindi, dividendo entrambi i membri per a (hai detto che a, b e c non sono nulli)





ma avendo detto che a, b e c sono interi, allora devono essere diversi...

Comunque seguo sperando che la soluzione finale sia alla portata delle mie scarse risorse.

[gekofive]

@ Max
La dimostrazione non è quella richiesta.
Ci provo io.

Ammettiamo che esistano due interi tali che






per , non esiste

per , che non è intero

per , che non è intero e minore di uno

Se adesso deriviamo rispetto ad , otteniamo che per è sempre negativo. quindi per , sarà sempre minore di uno, quindi non intero. L'ipotesi iniziale è sbagliata e quindi deve essere

Può andare?

[PietroBaima]

'na cifra!!!!

ma avendo detto che a, b e c sono interi, allora devono essere diversi...

quasi giusto.

Dico quasi perché così dimostri un sottocaso del fatto che a b c debbano essere diversi fra loro, cioè dimostri che non possono essere tutti e tre uguali, ma lasci aperto il caso in cui possano essere uguali due di loro.
Comunque l'idea è giusta.

Dovresti dimostrare che due di loro non possono essere uguali, perché facendo così dimostri automaticamente che non possono essere tutti e tre uguali.

Quando mi hanno posto il quesito la prima cosa che ho pensato è stata: vediamo se ci sono due soluzioni uguali cosa capita.

[PietroBaima]

Se adesso deriviamo rispetto ad , otteniamo che per è sempre negativo.

Controlla la derivata

[gekofive]

Controlla la derivata

Ok, l'ho cannata (era meglio se usavo WA). Comunque la dimostrazione non cambia.

Se adesso deriviamo rispetto ad , otteniamo che è sempre negativo per qualsiasi .

Va bene la dimostrazione?

[gekofive]

Ci provo.
Definiamo il prodotto

e la somma

Ora, incrementando si arriva a

mentre per la somma si ha

Dato che per qualsiasi , allora per qualsiasi , quindi se per un certo , allora non potrà più esserlo per nessun altro .
Abbiamo anche stabilito che al crescere di , il prodotto sale sempre più velocemente della somma. Pertanto, se per un dato abbiamo , allora non sarà per nessun successivo. Dato che sappiamo che e che non esistono combinazioni con prodotto e somma inferiori, quella è l'unica soluzione.