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Spiegazione funzionamento Integratore/Derivatore

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Spiegazione funzionamento Integratore/Derivatore

Messaggioda Foto UtenteOberoN » 23 nov 2011, 22:06

Ciao a tutti, mi sono sempre chiesto come funzionano un integratore e un derivatore :-k , così ci ho pensato su e, dopo un po' di calcoletti penso di essere arrivato a una soluzione \O-< . Ma siccome non ne sono sicuro vi chiedo se è la spiegazione giusta.

INTEGRATORE

Il circuito è questo.

Prendendo in esame il nodo vicino al terminale - dell'opamp e applicandoci la \mathcal{IK}
i_R(t)=i_C(t).
Ma conosciamo la legge di Ohm e quindi
\frac{v_{in}(t)}{R}=i_C(t).
Sappiamo che la corrente passante per il condensatore è la capacitanza per la derivata prima della tensione, allora
\frac{v_{in}(t)}{R}=C\frac{dv_{out}(t)}{dt}
quindi
\frac{v_{in}(t)}{RC}=\frac{dv_{out}(t)}{dt}.
Allora
v_{out}(t)=\frac{\int v_{in}(t) dt}{RC}}.

DERIVATORE



Qui scambiamo, nell'ultima formula dell'integratore, v_{in}(t) e v_{out}(t):
v_{in}(t)=\frac{\int v_{out}(t) dt}{RC}}
quindi
\frac{dv_{in}(t)}{dt}=\frac{v_{out}(t)}{RC}}.
Allora
v_{out}(t)=RC\frac{dv_{in}(t)}{dt}.


Giusto? :oops:
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[2] Re: Spiegazione funzionamento Integratore/Derivatore

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 23 nov 2011, 22:33

Ti sei dimenticato un segno meno in entrambi i casi. Per il resto mi sembra corretto.
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[3] Re: Spiegazione funzionamento Integratore/Derivatore

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 23 nov 2011, 22:37

OberoN ha scritto:capacitanza


Se dici anche oscillografo, vuol dire che sei un fisico :mrgreen: Meglio usare capacità, comunque ;-)

Tutto corretto, a parte un errore di segno. Nel disegno sotto ho aggiunto i segni delle correnti e delle tensioni:



Quindi v_\text{out} = -v_C

da cui, esplicitando anche le condizioni iniziali

v_\text{out}(t) = -\frac{1}{RC}\int_{t_0}^t v_\text{in}(t)\,\text{d}t+v_\text{out}(t_0)

Per il derivatore, la risposta può essere determinata in modo più diretto, perché

i_C = C\frac{\text{d}v_\text{in}}{\text{d}t}

ma

v_\text{out} = -v_R = -R i_R = -Ri_C = -RC\frac{\text{d}v_\text{in}}{\text{d}t}

dove ho tenuto conto del fatto che i_R = i_C
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[4] Re: Spiegazione funzionamento Integratore/Derivatore

Messaggioda Foto UtenteOberoN » 23 nov 2011, 22:59

DirtyDeeds ha scritto:... oscillografo ...

http://it.wikipedia.org/wiki/Oscillografo
(:OO:)
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[5] Re: Spiegazione funzionamento Integratore/Derivatore

Messaggioda Foto UtenteOberoN » 23 nov 2011, 23:20

Mi serviva per un piccolo circuito, eccolo qui.

(ma quanto comodo è FidoCadJ? :mrgreen: )

E allora V_{out} conoscendo il resto e sapendo che le due resistenze anonime sono uguali è:
v_{out}(t)=-\frac{1}{2RC}\int v_{in}(t) \text{d}t + v_{out}(t_0)-RC\frac{\text{d}v_{in}}{\text{d}t}
Oddio! :shock: Bel calcoletto!
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[6] Re: Spiegazione funzionamento Integratore/Derivatore

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 24 nov 2011, 0:59

Nel circuito stai sommando due derivate del segnale di ingresso, invece nella formula sommi una derivata e un integrale: forse c'e` qualcosa che non va.

Tieni presente che il derivatore fatto con un RC e` praticamente sempre instabile: bisogna limitarne la banda con una resistenza in serie alla capacita` (o al capacitore? :-)).

Che cosa stai studiando/hai studiato di elettronica?
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[7] Re: Spiegazione funzionamento Integratore/Derivatore

Messaggioda Foto UtenteOberoN » 24 nov 2011, 19:04

Infatti ho sbagliato a copia-incollare le due parti. Il circuito corretto è

E poi sì, lo so che si deve mettere una resistenza serie (derivatore) e parallelo (integratore) al condensatore. È che sto sviluppando questo circuito per una mia idea di sintetizzatore con forme d'onda strane, come ad esempio una via di mezzo tra -\frac{\text{d}\text{tri}(t)}{\text{d}t} e -\int \text{tri}(t)\text{d}t (dove \text{tri}(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{8}{(2n+1)^2\pi^2}\sin{nt}).

Poi, quando avrò abbastanza tempo libero :mrgreen: , mi dedicherò a questo progetto rendendolo da ideale a reale. O_/
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