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Tensori

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Moderatori: Foto UtenteIanero, Foto UtentePietroBaima

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[11] Re: Tensori

Messaggioda Foto UtenteIlGuru » 11 nov 2024, 15:34

Ianero ha scritto:L'ultimo passaggio di Pietro ancora non l'ho capito purtroppo. Scambiare i due indici non corrisponde a una trasposizione? (anziché un'inversione di matrice?)


Si, per le matrici, ma le matrici sono una rappresentazione di un tensore di ordine 2 non la rappresentazione di tutti i tensori, quindi non tutti i tensori sono matrici e non tutte le matrici sono tensori, nemmeno quelle quadrate di ordine 2.
I tensori sono tali se si trasformano con le leggi di trasformazione dei tensori, altrimenti sono solo delle matrici ma non dei tensori.

Vediamo due esempi.

1) Esprimiamo il vettore v in due basi \vec{e_\mu} = \frac{\partial}{\partial x^\mu} ed \vec{e_\nu} = \frac{\partial}{\partial x^\nu}:
\vec{v} = v^{\mu} \vec{e_{\mu}} = v^{\nu} \vec{e_{\nu}}
\vec{v} = v^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^\mu} = v^{\nu} \frac{\partial}{\partial x^\nu}

La trasformazione lineare ( matrice ) che trasforma la base \vec{e_\nu} nella base \vec{e_\mu} è:
\vec{e_\mu} = \Lambda^\nu_\mu \vec{e_\nu}
\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu} \frac{\partial}{\partial x^\nu}

\Lambda^\nu_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu}

2) Esprimiamo la forma \omega in due basi \tilde{e^\mu} = dx^\mu ed \tilde{e^\nu} = dx^\nu:
\tilde{\omega} = \omega_{\mu} \tilde{e^{\mu}} = \omega_{\nu} \tilde{e^{\nu}}
\tilde{\omega} = \omega_{\mu} dx^\mu = \omega_{\nu} dx^\nu

La trasformazione lineare ( matrice ) che trasforma la base \tilde{e^\nu} nella base \tilde{e^\mu} è:
\tilde{e^\mu} = \Lambda^\mu_\nu \tilde{e^\nu}
dx^\mu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu} dx^\nu

\Lambda^\mu_\nu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}

Gli oggetti covarianti come \vec{e_\nu} ed \omega_{\nu} trasformano secondo la legge \Lambda^\nu_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu}
Gli oggetti controvarianti come \tilde{e^\nu} e v^{\nu} trasformano secondo la legge \Lambda^\mu_\nu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu} ( che non è nient'altro che lo Jacobiano )

Le due matrici \Lambda^\nu_\mu e \Lambda^\mu_\nu hanno gli indici scambiati e la loro rappresentazione tensoriale è chiaramente l'una l'inversa dell'altra:
\Lambda^\mu_\nu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu} = ( \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu} )^{-1} = ( \Lambda^\nu_\mu )^{-1}

Quindi per scambiare tra loro due indici di un tensore, non basta la trasposta, deve essere l'inversa.
Nel caso delle matrici ortogonali dove A^T A = I l'inversa e la trasposta coincidono, ma non vale in generale.
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[12] Re: Tensori

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 11 nov 2024, 15:41

IlGuru ha scritto:\vec{v} = v^{\mu} \vec{e_{\mu}} = v^{\nu} \vec{e_{\nu}}

Non è una somma? Chiaro
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[13] Re: Tensori

Messaggioda Foto UtenteIlGuru » 11 nov 2024, 15:44

EcoTan ha scritto:Non è una somma?


Si sono due somme, ma su basi diverse. Avrei dovuto metterci i ' per esprimere le basi diverse ma mi sembrava più pesante da leggere. Fai conto che \mu vale [ x, y, z, ecc... ] mentre \nu vale [ \rho , \theta, \phi ecc... ]
Se vuoi riscrivo tutto
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[14] Re: Tensori

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 11 nov 2024, 15:48

no come non detto
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[15] Re: Tensori

Messaggioda Foto UtenteIanero » 12 nov 2024, 23:34

Ok IlGuru, grazie mille.
Mi sta sfuggendo però a questo punto come si scrive la matrice trasposta in notazione tensoriale...
:shock:
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[16] Re: Tensori

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 13 nov 2024, 3:57

Per esempio, il campo fondamentale g ha due indici entrambi in basso ed è simmetrico. Possiamo dire che in generale scambiando due indici dallo stesso lato non si inverte la matrice ma si traspone?
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[17] Re: Tensori

Messaggioda Foto UtenteIlGuru » 14 nov 2024, 11:09

EcoTan ha scritto:Per esempio, il campo fondamentale g ha due indici entrambi in basso ed è simmetrico. Possiamo dire che in generale scambiando due indici dallo stesso lato non si inverte la matrice ma si traspone?


Fate domande difficili :D
Direi di si, se il g di cui parli è il tensore metrico, le sue componenti sono i prodotti scalari dei vettori ( o covettori ) di base e per la commutatività del prodotto scalare è ininfluente scambiare l'ordine dei due indici.
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