Commutatori

[Ianero]

Come suggeritomi da PietroBaima nella discussione sui sistemi di riferimento, sto cercando di rinforzare la mia matematica, anziché la mia relatività, nella speranza di capire prima o poi come si facciano le misure di spazio e di tempo (almeno in linea di principio) in relatività generale.
Sto studiando dal libro di Wald, in particolare il capitolo 2, dove introduce il concetto di vettore tangente a una varietà in un suo punto . Me lo presenta in una forma nuova che io non conoscevo, ovvero come un funzionale che mappa una generica funzione definita sulla varietà in un numero reale. Dice che questo modo di pensare ai vettori tangenti cattura intrinsecamente il concetto di "spostamento infinitesimo". Ancora non vedo come, ma forse ci arriverò.
Chiamo poi 'campo di vettori tangenti' un'assegnazione di uno specifico vettore tangente su ogni punto di .
Nel frattempo mi fa notare che se fisso una qualsiasi di quelle funzioni e considero variabile il punto , ottengo per costruzione (a partire dal campo di vettori tangenti che avevo immaginato) una funzione che mappa punti di in numeri reali.

A questo punto introduce il commutatore, che dice essere un nuovo campo di vettori tangenti, definito a partire da due preesistenti campi di vettori tangenti e , così:



Mi sfugge il senso di questa definizione, in particolare il significato di (per esempio) : prende in ingresso funzioni e produce numeri reali, e stessa cosa fa , quindi non posso dare le uscite di in input a perché codominio e dominio sono di due nature diverse.
Anche se la vedo nell'altro modo, cioé pensando a fissata e al punto variabile, mapperebbe punti di in numeri reali, e stessa cosa , dunque ancora una volta codominio e dominio incompatibili.

Potete aiutarmi a capire per favore?
Grazie.

[PietroBaima]

Proviamo a chiarire. Un vettore tangente a un punto p in M può essere interpretato come un "derivativo direzionale" in quel punto: dato un campo vettoriale X e una funzione rappresenta la derivata direzionale di f lungo X in p. Di fatto, la valutazione di X(f) produce un numero reale per ciascun punto , ed è una funzione sui punti di M (se il punto p è variabile).

Ora, per quanto riguarda X(Y(f)): qui, il simbolo Y(f) rappresenta una nuova funzione definita su M, che mappa ogni punto p al valore della derivata direzionale di f lungo Y in p . Quindi, quando applichi X a Y(f), stai chiedendo a X di differenziare questa funzione risultante, trattando Y(f) come una funzione qualsiasi su M.

In questo senso, la composizione funziona: X(Y(f)) è la derivata direzionale di Y(f) lungo X, esattamente come Y(X(f)) è la derivata direzionale di X(f) lungo Y.

Infine, la differenza X(Y(f)) - Y(X(f)) definisce il commutatore [X,Y](f), che è una misura di come i campi X e Y "non commutano" nelle loro derivate direzionali.

Ho risposto?

[Ianero]

Yes, chiaro, grazie