Analogia fra 2-sfera e 3-sfera

[Ianero]

Ora ho capito la domanda, scusa la lentezza...
Ho provato a fare i conti e mi viene che i punti di intersezione di tutte le "sfere massime", nel caso a 4 dimensioni, sono ancora soltanto 2. Vedi se ti piace questa dimostrazione che ti riporto.

Partiamo dal caso della sfera bidimensionale immersa nello spazio tridimensionale, e facciamo tutto a raggio unitario tanto non conta niente:

Prendiamo, per fare le cose facili, il cerchio equatoriale, cioé e libero:

A questo punto prendiamo l'asse x come perno e ruotiamo il cerchio equatoriale per tutti gli infiniti possibili angoli intorno a quel perno:

Da questa espressione possiamo capire che, qualsiasi sia , i punti corrispondenti a sono sempre presenti. Essi sono i due punti , ovvero .


Ora facciamo tutto questo gioco in 4 dimensioni, in cui come parametrizzazione usiamo:

Prendiamo la "sfera equatoriale" (, e liberi):

Usiamo sempre l'asse x come perno e ruotiamo (stavolta la rotazione è a due angoli perché stiamo ruotando un oggetto tridimensionale, ma poco importa, scriverò la matrice in forma generica; ti basta immaginare che ogni termine è una combinazione di seni e coseni e che il suo determinante deve fare 1):

da cui capiamo che, qualsiasi siano i termini della matrice di rotazione, i punti corrispondenti a e (queste condizioni devono verificarsi contemporaneamente) sono sempre presenti. Essi sono di nuovo soltanto due punti, nel particolare .

[EcoTan]

Ti ringrazio molto, e sono "senza parole".
Dunque (prescindendo dall'espansione e altre diavolerie fisiche) esiste, ed ha (potrebbe avere) un nome, il punto opposto della nostra Terra?

[PietroBaima]

Ho provato a fare i conti ...

Bravo

[Ianero]

Ti ringrazio molto, e sono "senza parole".
Dunque (prescindendo dall'espansione e altre diavolerie fisiche) esiste, ed ha (potrebbe avere) un nome, il punto opposto della nostra Terra?

E di che.
Perché Polo Sud non ti piace?

Bravo

[EcoTan]

Sì mi piace, è l'idea che esista questo "gemellaggio" fra due poli, che mi pare strana. Comunque avviene a una distanza talmente enorme che rimane soltanto teorico.

[IlGuru]

Si, ma chi te lo assicura che lo spazio tridimensionale in cui siamo immersi sia omeomorfo ad una 3--Sfera?

[EcoTan]

Se non sbaglio, l'ipotesi di partenza è che la curvatura sia costante.
E qui mi viene un altro cruccio: se la curvatura è l'analogo del vecchio campo di gravità, allora siamo immersi in un campo costante? Che direzione avrebbe questo campo? Me la cavo dicendo che le analogie non sono mai perfette.

[IlGuru]

l'ipotesi di partenza è che la curvatura sia costante.

Si ma curvatura costante può essere un numero > 0 come nelle sfere, 0 come nei piani, nei cilindri e nei coni o < 0 come nei nelle selle.

[PietroBaima]

Esistono poi spazi a curvature miste e anche a curvature complesse.

In spazi di dimensioni maggiori, è possibile che la curvatura vari da punto a punto e in diverse direzioni. Questi spazi sono detti avere una curvatura sezionale diversa a seconda del piano che si considera attraverso un punto. Ciò significa che un punto in uno spazio può avere curvatura positiva in una direzione e curvatura negativa in un'altra. Tali varietà si chiamano spesso varietà con curvatura sezionale variabile.

Inoltre, nella geometria complessa in cui si studiano varietà con strutture complesse, si possono definire curvature complesse. Una varietà complessa è uno spazio in cui le coordinate locali sono numeri complessi e le trasformazioni tra le carte locali sono olomorfe (analitiche complesse). Un esempio è una varietà di Kähler, che ha una curvatura chiamata curvatura di Ricci complessa.
Poi ci sono anche le varietà iperkähler (guardate il mio avatar).

Nella RG e nella teoria delle stringhe, possono essere considerati spazi con curvature complesse. Un esempio potrebbe essere una metrica complessa (dove il tensore metrico ha componenti complesse), che può generare curvature che includono parti reali e immaginarie. Sebbene tali spazi non rappresentino necessariamente il nostro universo fisico, sono strumenti matematici utili per descrivere processi fisici complessi, specialmente in fisica teorica.

Quando si considera la curvatura come un valore complesso (ad esempio, con un modulo e una fase), si può descrivere una curvatura che ha sia una parte reale (che rappresenta la curvatura usuale) sia una parte immaginaria, che potrebbe essere interpretata in modi diversi, ad esempio legata a fenomeni oscillatori o a dimensioni nascoste nella fisica teorica.

Queste sono cose che sono quasi sicuro che qualcuno conoscerà e che faranno incuriosire gli altri

[EcoTan]

In spazi di dimensioni maggiori, è possibile che la curvatura vari da punto a punto e in diverse direzioni.

Sempre a proposito di curvature, vorrei chiarirmi un concetto a carattere più elementare.
In una superficie ellissoidale ordinaria, la curvatura in un punto è esprimibile con uno scalare?
Intuitivamente mi verrebbe da dire che nel senso dell'asse maggiore è più dritta, mentre verso i fianchi è più incurvata. Però la curvatura di Gauss è scalare.