Analogia fra 2-sfera e 3-sfera

[EcoTan]

Per facilitare la comprensione dell'ipersfera, nei testi si fa l'esempio della superficie sferica ordinaria o 2-sfera e poi si osserva che la 3-sfera è del tutto analoga salvo possedere una dimensione in più.
Nel caso della superficie sferica ordinaria, preso un punto qualsiasi resta individuato il punto diametralmente opposto. Allontanandosi dal primo punto lungo una geodetica, cioè un circolo massimo, si torna al punto di partenza e a metà percorso si transita dal punto opposto.
Anche nel caso della 3-sfera procedendo lungo una geodetica si torna al punto di partenza. Ma cosa avviene a metà percorso? Forse qualche discontinuità o divergenza? Esiste un punto opposto?

[EcoTan]

Provo a dirlo diversamente. Nella 2-sfera tutte le geodetiche uscenti dallo stesso punto vanno a incontrarsi nel punto opposto.
Analogamente, nella 3-sfera tutte le geodetiche uscenti da un punto vanno a incontrarsi in un determinato
altro punto?
O forse in una specie di orizzonte?
(se fossi sicuro non lo chiederei)

[Ianero]

Analogamente, nella 3-sfera tutte le geodetiche uscenti da un punto vanno a incontrarsi in un determinato
altro punto?

Sì, la famiglia dei cerchi massimi passante per un punto ha solo due intersezioni, di cui la seconda è il punto che menzioni tu.

[EcoTan]

Grazie per la risposta. La mia domanda nasce da una considerazione un po' strana: se tutte le geodetiche uscenti dalla Terra vanno a incontrarsi in un altro punto, questo rappresenta una specie di nostro "antipodo" in qualche punto dell'universo, magari lontanissimo.

[Ianero]

Stai parlando del Polo Sud?

[EcoTan]

Il mio ragionamento un po' stravagante è questo: visto che le geodetiche di una 3-sfera (che può rappresentare il nostro spazio) sono delle linee chiuse, possiamo chiederci cosa ci sia a metà percorso. Tutte le geodetiche che passano per uno stesso punto, vanno a incontrarsi a metà percorso in un determinato altro punto? L'analogia con la 2-sfera porterebbe a credere questo. L'analogia con la geometria proiettiva suggerirebbe invece un passaggio per l'infinito. E' chiaro che parliamo di distanze estreme, trascurando un bel po' di altri fenomeni.

[Ianero]

Non sono più certo che stiamo pensando alla stessa cosa.
Puoi fare un disegno per favore?

[EcoTan]

Provo a disegnare una 2-sfera. E' una superficie sferica ordinaria ma non bisogna pensare allo spazio in cui è immersa, è proprio soltanto una superficie con 2 coordinate e basta.
Le sue geodetiche sono circoli massimi, ho provato a disegnarne qualcuna passante per un punto P, in proiezione piana ordinaria. E' automatico che vadano a incontrarsi in un altro punto A.
Mi chiedevo se l'analogia con la 3-sfera possa spingersi fino ad affermare che succeda, anche lì, la stessa cosa cioè che vi sia un secondo punto di incontro.
Forse mi sto ponendo un problema irrilevante, e la risposta penso sia negativa.

2-sfera

[Ianero]

Non ti so rispondere, perché non capisco la domanda, purtroppo per ignoranza mia.

[EcoTan]

Il mio quesito è inutile e irrilevante ma non privo di significato.
Premetto che la 2-sfera è una superficie data da:

La 3-sfera è data da:

e ha qualche attinenza col nostro spazio fisico reale.
Tutti i testi affermano che la 3-sfera è analoga alla 2-sfera salvo possedere una dimensione in più.
Poiché nella 2-sfera tutte le geodetiche passanti per un punto si incontrano in un secondo punto, mi chiedevo se in forza dell'analogia ciò debba avvenire anche nella 3-sfera. Insomma lo spazio curvo si comporterebbe come una specie di lente che fa convergere i raggi in una immagine focale sita altrove. Invece io immagino che vadano a sfiorare una specie di orizzonte ma poi mi perdo.. leopardianamente ma senza la dolcezza dell'Infinito.