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Nabla quadro è ambiguo?

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Nabla quadro è ambiguo?

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 5 apr 2021, 9:57

Nell'ultimo rigo di questo documento:
https://www.di.univr.it/documenti/Occor ... 766827.pdf
vediamo una relazione, peraltro ben nota, in cui soltanto l'ultimo termine è già definito scalare.
Ma è lecito sommare vettori a scalari?
O forse nabla, applicato a un vettore, produce uno scalare? Cioè il gradiente di un vettore sarebbe uno scalare? Mai sentito niente di simile. Forse non vedo bene, c'è differenza fra nabla scritto in grassetto e non? E come si definisce nabla quadro non grassettato?
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[2] Re: Nabla quadro è ambiguo?

Messaggioda Foto Utentelemure64 » 5 apr 2021, 10:32

SEO: in effetti l'ambiguità potrebbe sorgere perché esiste sia il laplaciano su uno scalare che il laplaciano su un campo vettoriale. Però per dare senso all'identità nell'ultimo rigo si deve per forza scegliere il laplaciano che opera su un campo vettoriale, quindi un autore sufficientemente sadico potrebbe decidere che non serve alcuna convenzione grafica per distinguere i due nabla :D

In effetti è una cosa un po' scomoda avere lo stesso nome per un operatore che può essere applicato a enti operativamente (perché si può sempre considerare lo scalare come un vettore in uno spazio a dimensione uno) diversi, ma credo che un matematico o qualcuno che ha continuamente a che fare con il calcolo vettoriale vada "in automatico".
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[3] Re: Nabla quadro è ambiguo?

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 5 apr 2021, 11:02

Attenzione a non confondere operatori vettoriali che operano su scalari e operatori scalari che operano su vettori.
Per esempio, la derivata è un operatore scalare, ma posso applicarla ad un vettore producendo un vettore. Il laplaciano, essendo la traccia dell’hessiana, è per sua natura un operatore scalare, ma può produrre un vettore se è applicato ad una funzione vettoriale.
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[4] Re: Nabla quadro è ambiguo?

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 5 apr 2021, 11:27

Sì grazie. Adesso provo a scrivere una probabile cavolata se mai qualcuno volesse correggermela:
\nabla^2 \vec V = \vec i\ \partial^2 V_x/\partial x^2 + \vec j\ \partial^2 V_y/\partial y^2 + \vec k\ \partial^2 V_z/\partial z^2
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[5] Re: Nabla quadro è ambiguo?

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 5 apr 2021, 11:49

EcoTan ha scritto:Sì grazie. Adesso provo a scrivere una probabile cavolata se mai qualcuno volesse correggermela:
\nabla^2 \vec V = \vec i\ \partial^2 V_x/\partial x^2 + \vec j\ \partial^2 V_y/\partial y^2 + \vec k\ \partial^2 V_z/\partial z^2


Direi di no.
\nabla^2 \vec V =\left(\nabla^2 \vec V_x, \nabla^2 \vec V_y, \nabla^2 \vec V_z\right)

Esempio

\nabla^2 (x^2+z^2,x+y,z^3) =\left(2+0+2,0+0+0,0+0+6z\right)
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[6] Re: Nabla quadro è ambiguo?

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 5 apr 2021, 13:29

Allora
\nabla^2 \vec V = \vec i\ ( \partial^2 V_x/\partial x^2 + \partial^2 V_x/\partial y^2 + \partial^2 V_x/\partial z^2) +
\vec j\ ( \partial^2 V_y/\partial x^2 + \partial^2 V_y/\partial y^2 + \partial^2 V_y/\partial z^2) +
\vec k\ ( \partial^2 V_z/\partial x^2 + \partial^2 V_z/\partial y^2 + \partial^2 V_z/\partial z^2)
ma perché \begin{align} \\ end{align} non mi funziona?
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[7] Re: Nabla quadro è ambiguo?

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 5 apr 2021, 13:31

EcoTan ha scritto:Allora
\nabla^2 \vec V = \vec i\ ( \partial^2 V_x/\partial x^2 + \partial^2 V_x/\partial y^2 + \partial^2 V_x/\partial z^2) +
\vec j\ ( \partial^2 V_y/\partial x^2 + \partial^2 V_y/\partial y^2 + \partial^2 V_y/\partial z^2) +
\vec k\ ( \partial^2 V_z/\partial x^2 + \partial^2 V_z/\partial y^2 + \partial^2 V_z/\partial z^2)

yes, however verbose.

EcoTan ha scritto: ma perché \begin{align} \\ end{align} non mi funziona?

L’interprete qui non è completo, con gli align mi sembra abbia qualche problema.
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[8] Re: Nabla quadro è ambiguo?

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 5 apr 2021, 13:34

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