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Somma di sinusoidi in forma esponenziale

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Somma di sinusoidi in forma esponenziale

Messaggioda Foto UtenteFrenzi » 22 mar 2021, 21:37

Ciao a tutti, ho necessità di ricavare gli smorzamenti delle sinusoidi contenute in un segnale che so essere la sovrapposizioni di diverse sinuosidi smorzate. Per fare questo ho trovato diversi algoritmi, e quello che più mi sembrava indicato per le mie necessità è un algoritmo chiamato HDIDFT (Hann Discrete Interpolation DFT). Fondamentalmente è un algoritmo di calcolo della trasformata discreta di Fourier mediante interpolazione, che utilizza una finestra di Hann sui dati in modo da contenere la dispersione spettrale. L'algoritmo è descritto in questo articolo: https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=6670774&tag=1.
E' da una settimana che ci sto lavorando e sono riuscito a capirne buona parte e ad implementarlo su Matlab, ma c'è sempre qualcosa che non mi torna e non riesco bene ad identificare cosa. Sono quindi ripartito da capo e mi sono soffermato su come loro presentano la somma di sinusoidi smorzate che inizialmente avevo dato totalmente per scontato:

Detti:
N =numero totale di samples
M=numero di sinusoidi contenute nel segnale
A_m , f_m ,\varphi_m ,\alpha_m= ampiezza, frequenza, fase iniziale e fattore di smorzamento della m-esima sinusoide
n = 0,1,...,N-1 = indice per i sample
m = 0,1,...,M-1 = sinusoide m-esima
x_n =sample n-esimo

La definizione del segnale data nell'articolo è:
x_n= \sum\limits_{m=0}^{M-1} A_m e^{\frac{2\pi n}{N} (\alpha_m+jf_m)+j\varphi_m}

La definizione di sinusoide che ho sempre utilizzato io (rispetto al tempo) è invece la seguente:
x(t)=\sum\limits_{m=0}^{M-1}A_m e^{t(\alpha_m+j 2\pi f_m)+j\varphi_m}
che considerando che t=n/f_s(con f_s=sample rate) penso di poter riscrivere in funzione dei sample come:
x_n=\sum\limits_{m=0}^{M-1}A_m e^{(\frac{n}{f_s}(\alpha_m+j2\pi f_m)+j\varphi_m}

Scusate la domanda forse banale, ma non riesco a capire la differenza tra la "mia" e la loro soluzione; in particolare, perché nella loro soluzione il 2\piè raccolto come se fosse anche presente in \alpha_m? non dovrebbe essere presente solo nella componente immaginaria come \omega_m=2\pi f_s? Non riesco proprio a capire cosa sia stato fatto e perché. La "sensazione" che ho è che sia una sorta di "normalizzazione" rispetto al periodo di acquisizione ma non riesco a dimostrarlo ne a capire come è stato fatto (ne il motivo se devo essere sincero).

L'unica cosa che mi pare che possa aver un senso è la seguente: se riscrivo la mia soluzione in funzione del periodo di acquisizione T=1/f_s e divido per NT ottengo qualcosa di simile alla loro:
x_n=\sum\limits_{m=0}^{M-1}A_m e^{(\frac{n}{N}(\alpha_m+j2\pi f_m)+j\varphi_m}
però c'è ancora un 2\pi che "balla" davanti allo smorzamento \alpha_m e comunque non capisco che senso possa avere fare un'operazione del genere...

Anche dimensionalmente la loro è diversa dato che come normale le mie sinuosidi sono in radianti, mentre le loro sono \frac{rad*sample*Hz}{sample}==rad/s, quindi è come se fossero sinusoidi in funzione di una pulsazione e non di un angolo; inoltre lo smorzamento non è adimensionale ma in rad.
Cosa significano e comportano questi fatti? Non riesco proprio ad arrivarci.

Grazie a tutti :)

P.s.: delle trasformate di Fourier non ho una visione completa in quanto mi manca parte della teoria, avendole sempre utilizzate 'praticamente' su Matlab, ma questo penso che esuli da questo discorso.

P.s.2: per chi volesse guardare l'articolo e non riesca dal link, ne ho estratto la parte di interesse qui: https://drive.google.com/file/d/1tHLkUo46__WLgUmUiUZPf0Ic9AgGZgJS/view?usp=sharing
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