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da **IlGuru** » 11 nov 2024, 15:34

Ianero ha scritto:L'ultimo passaggio di Pietro ancora non l'ho capito purtroppo. Scambiare i due indici non corrisponde a una trasposizione? (anziché un'inversione di matrice?)

Si, per le matrici, ma le matrici sono una rappresentazione di un tensore di ordine 2 non la rappresentazione di tutti i tensori, quindi non tutti i tensori sono matrici e non tutte le matrici sono tensori, nemmeno quelle quadrate di ordine 2.
I tensori sono tali se si trasformano con le leggi di trasformazione dei tensori, altrimenti sono solo delle matrici ma non dei tensori.

Vediamo due esempi.

1) Esprimiamo il vettore v in due basi $\vec{e_\mu} = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ ed $\vec{e_\nu} = \frac{\partial}{\partial x^\nu}$ :
$\vec{v} = v^{\mu} \vec{e_{\mu}} = v^{\nu} \vec{e_{\nu}}$
$\vec{v} = v^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^\mu} = v^{\nu} \frac{\partial}{\partial x^\nu}$

La trasformazione lineare ( matrice ) che trasforma la base $\vec{e_\nu}$ nella base $\vec{e_\mu}$ è:
$\vec{e_\mu} = \Lambda^\nu_\mu \vec{e_\nu}$
$\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu} \frac{\partial}{\partial x^\nu}$

$\Lambda^\nu_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu}$

2) Esprimiamo la forma $\omega$ in due basi $\tilde{e^\mu} = dx^\mu$ ed $\tilde{e^\nu} = dx^\nu$ :
$\tilde{\omega} = \omega_{\mu} \tilde{e^{\mu}} = \omega_{\nu} \tilde{e^{\nu}}$
$\tilde{\omega} = \omega_{\mu} dx^\mu = \omega_{\nu} dx^\nu$

La trasformazione lineare ( matrice ) che trasforma la base $\tilde{e^\nu}$ nella base $\tilde{e^\mu}$ è:
$\tilde{e^\mu} = \Lambda^\mu_\nu \tilde{e^\nu}$
$dx^\mu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu} dx^\nu$

$\Lambda^\mu_\nu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}$

Gli oggetti covarianti come $\vec{e_\nu}$ ed $\omega_{\nu}$ trasformano secondo la legge $\Lambda^\nu_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu}$
Gli oggetti controvarianti come $\tilde{e^\nu}$ e $v^{\nu}$ trasformano secondo la legge $\Lambda^\mu_\nu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}$ ( che non è nient'altro che lo Jacobiano )

Le due matrici $\Lambda^\nu_\mu$ e $\Lambda^\mu_\nu$ hanno gli indici scambiati e la loro rappresentazione tensoriale è chiaramente l'una l'inversa dell'altra:
$\Lambda^\mu_\nu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu} = ( \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu} )^{-1} = ( \Lambda^\nu_\mu )^{-1}$

Quindi per scambiare tra loro due indici di un tensore, non basta la trasposta, deve essere l'inversa.
Nel caso delle matrici ortogonali dove A^T A = I

l'inversa e la trasposta coincidono, ma non vale in generale.

da **EcoTan** » 11 nov 2024, 15:41

IlGuru ha scritto: $\vec{v} = v^{\mu} \vec{e_{\mu}} = v^{\nu} \vec{e_{\nu}}$

~~Non è una somma?~~ Chiaro

da **IlGuru** » 11 nov 2024, 15:44

EcoTan ha scritto:Non è una somma?

Si sono due somme, ma su basi diverse. Avrei dovuto metterci i ' per esprimere le basi diverse ma mi sembrava più pesante da leggere. Fai conto che $\mu$ vale [ x, y, z, ecc... ] mentre $\nu$ vale [ $\rho , \theta, \phi$ ecc... ]
Se vuoi riscrivo tutto

da **EcoTan** » 11 nov 2024, 15:48

no come non detto

da **Ianero** » 12 nov 2024, 23:34

Ok IlGuru, grazie mille.
Mi sta sfuggendo però a questo punto come si scrive la matrice trasposta in notazione tensoriale...

da **EcoTan** » 13 nov 2024, 3:57

Per esempio, il campo fondamentale g ha due indici entrambi in basso ed è simmetrico. Possiamo dire che in generale scambiando due indici dallo stesso lato non si inverte la matrice ma si traspone?

da **IlGuru** » 14 nov 2024, 11:09

EcoTan ha scritto:Per esempio, il campo fondamentale g ha due indici entrambi in basso ed è simmetrico. Possiamo dire che in generale scambiando due indici dallo stesso lato non si inverte la matrice ma si traspone?

Fate domande difficili

Direi di si, se il g di cui parli è il tensore metrico, le sue componenti sono i prodotti scalari dei vettori ( o covettori ) di base e per la commutatività del prodotto scalare è ininfluente scambiare l'ordine dei due indici.

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