Forse in conseguenza alla mia formazione di telecomunicazionaro, spesso mi sono domandato chi fu il primo a usare il concetto e il termine di “frequenza”, un concetto fondamentale non solo per la comunicazione. L’ho chiesto anche qui nel forum. La risposta è stata “Galileo” ed è molto probabile che sia corretta, perché ne parla nelle sue esservazioni sul moto del pendolo, che è stato il primo a fare.

Il termine “frequenza” esiste nel latino “frequentia” con significato di “evento che si ripete periodicamente”. Per noi questo non basta, perché automaticamente vi associamo il concetto di “regolarità”. Per eventi non regolari ma ripetitivi usiamo a volte il termine “frequenza media”. Ma la regolarità ci rimanda alla accuratezza e alla precisione , cose che, sempre per noi elettrici o fisici o meccanici, rimandano alla misura a agli standard di misura, cioè a unità di misura che, possibilmente, valgano per tutti. Uno stato di cose non così banale come potrebbe sembrare. L'accuratezza si riferisce a quanto il valore misurato è vicino al valore reale, mentre la precisione indica quanto è "disperso" l'errore della misura, ossia la precisione è tanto maggiore quanto minore è la deviazione standard in una serie di misure ripetute. Le principali leggi della fisica sono state ricavate in tempi in cui tali standard non esistevano, dato che sono comparsi solo alla fine dell’800. Le leggi prescindono dalle unità di misura ma le loro applicazioni pratiche devono farci i conti. Un altro motivo di interesse personale in questi argomenti è la musica, che si potrebbe chiamare arte del tempo e della frequenza. A entrambi si applicano regolarità (ritmo) e accuratezza e precisione (intonazione, cioè frequenza e rapporti di frequenza). Da notare che nella musica c’è anche un’idea di velocità, di suoni che si susseguono più o meno rapidamente; allora in musica la velocità è definibile grossolanamente come “numero di note al secondo”. Si parla quindi di tempo lento, tempo moderato, adagio, andante, allegro, presto, etc. (tra l’altro “allegro” in musica prescinde dallo stato d’animo e non significa “gioioso” ma “movimentato”). Queste espressioni esistono nella musica classica e quasi mai negli altri generi, dove la velocità di esecuzione è scelta molto più liberamente. Nelle telecomunicazioni abbiamo a che fare con la frequenza ma anche con accuratezza e precisione della frequenza, che infatti gli standard internazionali fissano entro limiti sempre più ristretti, come è logico aspettarsi. Il fatto che la misura della frequenza sia strettamente legata alla misura del tempo, e viceversa, è un'acquisizione avvenuta con Galileo e costituisce la base degli standard temporali in uso dal '900 in poi.

In questa seconda parte vediamo la convoluzione riferita al tempo, in cui l’indice delle successioni numeriche è un indice temporale, così come la variabile indipendente delle funzioni coinvolte. Al solito, mi sono servito di materiale pubblico presente sul web.

Consideriamo solo sistemi lineari, che siano però anche tempo invarianti o (LTI = Linear Time Invariant), cioè che non cambino le loro caratteristiche strutturali nel tempo.

In particolare ci concentriamo su quei sistemi LTI che prevedono una funzione di input x(t) e una funzione di output y(t) legate tra loro dalla cosiddetta funzione di trasferimento = funzione di output / funzione di input. In linea di principio la funzione di trasferimento può essere espressa in vari modi.

Per la stesura di questo articolo mi sono servito come altre volte di un video pubblico della 3Blue1Brown dal titolo “But what is a convolution?” fermandomi solo alla parte iniziale, dato che il mio intento è di introdurre l’argomento nel modo più semplice possibile.

In quanti modi si può ottenere una terza lista date due liste di numeri? Certamente moltissimi, o infiniti, direte voi. Se disponiamo le due liste, chiamiamole "a" e "b", in due colonne affiancate, otteniamo una tabella con tante righe quanti sono i numeri di ciascuna lista (ammesso che contengano la stessa quantità di termini, ma se le quantità sono diverse non cambia nulla, potendo sempre aggiungere degli zeri nei posti mancanti). È un’operazione che tipicamente si fa con Excel. Si possono allora sommare in una terza colonna i due termini della stessa riga, o li si possono moltiplicare; ad esempio “quantità” e “prezzo unitario” per calcolare quanto si spende comprando una serie di prodotti che costano “un tanto al kg”, come si fa in una lista della spesa un po’ analitica. Saltando nella matematica, le due liste possono ottenersi anche da due funzioni di una stessa variabile, discrete o continue, f(x) e g(x).

In un recente (2021) video del tipo “tutorial” dal titolo “The Big Misconception About Electricity” ("Il grande fraintendimento sull’elettricità") (https://www.youtube.com/watch?v=bHIhgxav9LY) Derek Muller, un ingegnere canadese che si esprime attraverso il canale youtube “Veritasium”, pone la seguente domanda: dato il circuito (immaginario) in figura, lungo 300.000 km, ossia 1 light-second per parte e con distanza di 1 m tra i conduttori, quanti secondi impiegherebbe l’energia della batteria a raggiungere la lampada (e accenderla) dall’istante in cui l’interruttore viene chiuso?

Derek propone 5 risposte, una delle quali è quella giusta:

Ho scritto quanto segue utilizzando articoli scritti da Michael Irving e pubblicati online, come al solito da me liberamente rielaborati, tratti da pubblicazioni su Nature Photonics.

Già da tempo si sente parlare di computer quantistici, mentre le telecomunicazioni basate sui quantum bit (termine coniato da Benjamin Schumacher per indicare il bit quantistico ovvero l'unità di informazione quantistica) o qbit costituiscono un argomento più recente e di cui non si parla spesso ma che sta acquistando sempre maggiore importanza.

Grazie a Internet, abbiamo una grande quantità di informazioni, ma il rovescio della medaglia è che i dati sensibili sono spesso vulnerabili a intercettazioni e furti. Anche la protezione della crittografia tenderà a essere vanificata dalla crescente potenza di calcolo dei computer.

Da tempo avevo in mente di fare un po’ di luce sul mio soprannome, che a molti sarà parso un po’ strano. Allora mi sono deciso a descrivere sommariamente questo oggetto da cui l'ho tratto, uno strumento musicale poco conosciuto ma molto importante nella storia della musica occidentale. Cosa c’entra la musica con EY? Niente, viene subito da dire. Ma, forse, niente è un po’ troppo poco. Potremmo dire che la musica condivide alcuni aspetti con gli oggetti di EY? Ben poco, mi pare, con impiantistica, automazione industriale, costruzione, veicoli e motori; forse qualcosa di più con elettrotecnica, elettronica, matematica, fisica (specialmente acustica), informatica… C’entra qualcosa, in sostanza, solo per i fenomeni ondulatori. Oppure ci sono altri motivi? Non lo so, ma visto che Admin in passato mi ha sollecitato a scrivere sulla musica, accolgo di nuovo il suo gentile invito.

Fin da bambino mi è sempre piaciuto andare in bici. Più tardi, mi sono chiesto qual è la fisica del suo movimento e quanta energia assorbe. La bici da ferma cade ma in movimento sta in equilibrio: come mai? Per darmi una risposta ho pensato all'effetto "giroscopio" che si produce nelle ruote che è basato sul principio della conservazione del momento angolare (o momento della quantità di moto). Però qualcosa non mi ha mai convinto del tutto in questa spiegazione: i ciclisti su pista riescono a non cadere anche stando fermi, quindi senza nessun giroscopio. Certo loro, come quelli del circo, hanno grandi capacità di ristabilire velocemente l'equilibrio con micromovimenti del corpo. Tuttavia, per noi mortali, basta una velocità anche molto bassa per raggiungere una stabilità sufficiente a non cadere; a velocità così basse però l'effetto giroscopio è veramente piccolo rispetto alla massa bici + ciclista.

Mi sono imbattuto in un articoletto del Dr. Goulu, un matematico svizzero (vivente) esperto in architetture software, che ci tiene a tenere segreto il nome. L'articolo mi è sembrato simpatico e ho pensato di riproporlo qui, tradotto dal francese.

La sezione aurea o “proporzione divina” sembra rappresentare il rapporto esteticamente più perfetto che si possa trovare nella natura, nei monumenti antichi, nelle famose opere d'arte o in un semplice rettangolo. Ad esempio: in quale di questi rettangoli in figura vi sembra che ci sia la proporzione migliore tra i lati?

Se avete risposto il 5, avete la stessa preferenza del 34% degli intervistati in un sondaggio identico [1], ma il 5 non è un rettangolo aureo. Il rettangolo aureo è il 2, scelto dal 18% delle persone, ma anche il 9, scelto dal 5%, nettamente inferiore all'11% medio. In altre parole: statisticamente non è facile trovare il “divino” in un rettangolo ...

Siamo giunti alla 3a e ultima parte di questa breve rassegna, in cui vengono illustraste sommariamente le variabili casuali (random variables) sia discrete che continue, tramite le quali vengono applicati in maniera più sistematica i concetti visti nelle due parti precedenti.

Una variabile casuale rappresenta con un numero i possibili risultati che potrebbero verificarsi per qualche esperimento casuale. Una variabile casuale discreta X ha un insieme di valori possibili distinti. Ad esempio, X potrebbe essere:

a) il numero di case nel vostro quartiere che hanno un camino

b) il numero di biciclette nuove vendute ogni anno da un negozio di biciclette

Prosegue il discorso iniziato nella prima parte e vengono passati in rassegna i punti basilari della Teoria della probabilità, senza alcuna pretesa, come sempre del resto, di grande rigore e di esaustività.

Abbiamo detto nella prima parte che se si passa da una popolazione a un campione, la frequenza relativa può diventare probabilità.

Questo perché un campione è una parte di una popolazione e il fatto che possa rappresentarla tutta non è la certezza assoluta ma può essere una quasi-certezza. Naturalmente la teoria ha sviluppato dei criteri di scelta del campione in base al grado di rappresentatività richiesto. I criteri dicono, ad esempio, quanto deve essere numeroso il campione affinché l’errore di valutazione sia contenuto in un limite prestabilito.