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Il caso classico tratta lo spostamento del centro stella solo nel caso di interruzione del neutro, cioè neutro con impedenza infinita, in realtà passando da neutro con impedenza zero a neutro con impedenza infinita, che rappresenta l'interruzione dello stesso, la tensione $V 0$ tra centro astratto e centro concreto aumenta da zero fino al suo valore massimo se si verifica la condizione di carichi molto differenti sulle tre fasi. Se indichiamo con $V 1, V 2, V 3$ una terna di tensioni di fase simmetriche in partenza della linea, con $I 1, I 2, I 3$ le correnti sulle tre fasi assorbite dai carichi e con $I n$ la corrente sul neutro si ha:

$I 1 + I 2 + I 3 = I n$
Si puo' quindi scrivere la seguente relazione:
$Y_1 \cdot(V_1-V_0)+Y_2 \cdot (V_2-V_0)+ Y_3 \cdot (V_3-V_0)=Y_n \cdot V_0$
per cui si ha :
-Teorema di Millman-
$V_0= (Y_1 \cdot V_1+Y_2 \cdot V_2+Y_3 \cdot V_3)/(Y_1+Y_2+Y_3+Y_n)$
A titolo di esempio ho ipotizzato un caso pratico che è il seguente:

Linea trifase BT in cavo aereo precordato di alluminio 3x70+1x54.6 di lunghezza pari a 0.6 Km che alimenta alla sua estremità tre carichi di valore differente distribuiti ognuno per fase. Le caratteristiche della linea sono riportate di seguito:
Tensione di fase in partenza Vp = 230 volt
Resistenza della fase R_L = 0.443 ohm/km
Reattanza della fase X_L = 0.100 ohm/km
Resistenza del neutro R_n = 0.628 ohm/km
Reattanza del neutro X_n = 0.170 ohm/km
Lunghezza linea L = 0.6 km
I carichi sono i seguenti:
Carico 1 kW 6.6 cosfì 0.90
Carico 2 kW 0.2 cosfì 0.90
Carico 3 kW 0.1 cosfì 0.95

Allo scopo di avere un riscontro pratico con valori numerici, si considerano tre condizioni di funzionamento della linea.
Ipotesi 1 - Neutro interrotto, impedenza infinita
Ipotesi 2 - Neutro con impedenza uguale a zero, (caso teorico)
Ipotesi 3 - Neutro con impedenza di valore finito, caso pratico sopra descritto con valore di impedenza definito.

Ho predisposto un programma in Fortran per poter calcolare agevolmente le tensioni e le correnti che circolano in linea nelle tre condizioni previste, il listato del programma è allegato a questo lavoro.

Nella ipotesi 1 sopra descritta sono impostati nel programma valori di resistenza e reattanza del neutro molto elevati che si avvicinano alla condizione di neutro interrotto, quindi si è posto una resistenza e reattanza del neutro di 1*10^6 ohm/km.
Nella ipotesi 2, neutro con impedenza uguale a zero, allo scopo di evitare l' overflow del calcolo si è impostato nel listato del programma un valore molto basso di resistenza e reattanza del neutro pari a 1*10^-6 ohm/Km.
Nella ipotesi 3 i valori di resistenza e reattanza del neutro sono quelli indicati nell'esempio.
Per ogni carico è stata calcolata la resistenza $R c$ e la reattanza $X c$ in base alla potenza e al cosfi dello stesso. Questi valori si suppongono costanti al variare della tensione. Si è quindi calcolata la resistenza Rt per ogni fase data dalla resistenza del carico Rc più la resistenza della fase di linea $R_L \cdot L$ , quindi $R_t= R_c+R_L \cdot L$ , dove $L$ è la lunghezza di linea in km, stesso discorso vale per la reattanza quindi Xt= $X_c+X_L \cdot L$ . Calcolate quindi le ammettenze delle fasi e del neutro si è calcolata la tensione $V 0'0$ tra il centro concreto ed il centro astratto e quindi anche le tensioni $V t 10, V t 20, V t 30$ come meglio indicato nello schema elettrico allegato.
Risulta di particolare interesse l'ipotesi 3 ove si nota che le tensioni $V t 20$ e $V t 30$ sono aumentate, in particolar modo la tensione sulla fase 3 è aumentata di circa 7 volt in conseguenza dello spostamento del centro stella dovuto al carico elevato sulla fase 1 rispetto ai carichi molto modesti sulle fasi 2 e 3.
Si sono infine calcolate le tensioni di fase sui carichi $V c 1'0, V c 2'0, V c 3'0$
Il programma salva nella stessa cartella ove è installato il file Risultati.txt che si riferisce alle 3 ipotesi considerate riguardo la condizione del neutro.
Allego i risultati dei calcoli nelle tre ipotesi considerate.

Schema elettrico.jpg

Ipotesi 1.PNG

Ipotesi 2.PNG

Ipotesi 3.PNG

PROGRAM Sp_Centro_Stella
! Calcolo spostamento centro stella
IMPLICIT NONE
REAL:: Vp   ! tensione di fase in partenza in volt
REAL:: L    ! Lunghezza della linea in km
REAL:: Rn   ! resistenza del neutro in ohm/km
REAL:: Xn   ! reattanza del neutro in ohm/km
REAL:: RL   ! resistenza della fase in ohm/km
REAL:: XL   ! reattanza  della fase in ohm/km
COMPLEX:: Yn ! ammettenza del neutro
COMPLEX:: V0 ! tensione stellata tra centro astratto e centro concreto
COMPLEX:: ZL ! impedenza della fase della linea in forma complessa
INTEGER::i
REAL,DIMENSION(3)::P    !carico relativo alle fasi 1-2-3 in watt
REAL,DIMENSION(3)::cosf !fattore di potenza dei carichi fasi 1-2-3 
REAL,DIMENSION(3)::arc  !arco in rad. corrisp.ai vari cosf
REAL,DIMENSION(3)::sinf !seno corrispondente ai cosf 
REAL,DIMENSION(3)::Ic0   ! correnti nominali dei carichi 
COMPLEX,DIMENSION(3)::Ic ! correnti dei carichi in forma complessa
COMPLEX::I0              ! corrente sul neutro in forma complessa
REAL,DIMENSION(3)::Zc ! impedenza nominale dei carichi
REAL,DIMENSION(3)::Rc ! resistenza nominale dei carichi
REAL,DIMENSION(3)::Xc ! reattanza nominale dei carichi
REAL,DIMENSION(3)::Rt !somma tra la resistenza interna del carichi Rc 
                      !e la resistenza della linea  RL*L
REAL,DIMENSION(3)::Xt !somma tra la reattanza interna dei carichi Xc 
                      !e la reattanza della linea XL*L
COMPLEX,DIMENSION(3):: Yt ! ammettenza totale carichi + linea
COMPLEX,DIMENSION(3):: V  ! tensioni di fase in partenza della linea
                          ! in forma complessa 
COMPLEX,DIMENSION(3):: Vt ! tensioni totali su impedenza carico + linea
COMPLEX,DIMENSION(3):: Vc ! tensioni sui carichi
INTEGER::sel

OPEN(UNIT=3,FILE='Risultati.txt',STATUS='REPLACE',ACTION='WRITE')

WRITE(*,"(' Inserire la tensione di fase in partenza della linea' &
       &  ' in volt')")
READ(*,*) Vp
WRITE(*,"(' Inserire la resistenza di fase della linea in ohm/km')")
READ(*,*) RL
WRITE(*,"(' Inserire la reattanza di fase della linea in ohm/km')")
READ(*,*) XL

sel= -1
DO WHILE(sel<1 .OR. sel>3)
WRITE(*,"(' Selezionare lo stato di funzionamento del neutro',/ &
 &  ' 1) Neutro interrotto',/&
 &  ' 2) Neutro con impedenza uguale a zero',/&
 &  ' 3) Neutro con valori di impedenza definiti dall''utente')")
READ(*,*) sel
  SELECT CASE(sel)
  CASE(1)
    Rn=1E6
    Xn=1E6
  CASE(2)
    Rn=1E-6
    Xn=1E-6
  CASE(3)
  WRITE(*,"(' Inserire la resistenza del neutro della linea in ohm/km')")
  READ(*,*) Rn
  WRITE(*,"(' Inserire la reattanza del neutro della linea in ohm/km')")
  READ(*,*) Xn
  END SELECT
END DO

L= -1
DO WHILE(L<=0)
  WRITE(*,"(' Inserire la lunghezza della linea in km')")
  READ(*,*) L
  IF (L<=0)THEN
    WRITE(*,"(' La lunghezza della linea deve essere maggiore di',/&
           &  ' zero',/)")
  END IF   
END DO

DO i= 1,3
  WRITE(*,"(' Inserire il carico relativo alla fase ',I1,' in KW')")i
  READ(*,*) P(i)
  WRITE(*,"(' Inserire il fattore di potenza relativo alla fase ',I1)")i
  READ(*,*) cosf(i)
END DO  
 
DO i= 1,3
  arc(i)= ACOS (cosf(i))
  sinf(i)= SIN(arc(i))
END DO 

DO i= 1,3
  Ic0(i) = (P(i)*1000)/(Vp*cosf(i))
END DO

DO i=1,3
  Zc(i)=Vp/Ic0(i)
  Rc(i)=Zc(i)*cosf(i) 
  Xc(i)=Zc(i)*sinf(i)
END DO
 
DO i=1,3
  Rt(i)= Rc(i)+RL*L
  Xt(i)= Xc(i)+XL*L
  Yt(i)= 1/CMPLX(Rt(i),Xt(i))
END DO  

IF ((Rn == 0.).AND.(Xn == 0.)) THEN
  WRITE(*,"(' Se Rn=0 e Xn=0 sono uguali a zero',/&
         &  ' viene impostato Rn=1E-6 e Xn=1E-6',/&
         &  ' per non mandare il calcolo in overflow',/)")
  READ(*,*)
  Rn=1E-6
  Xn=1E-6
END IF 
 
Yn= 1/CMPLX(Rn*L,Xn*L)  

WRITE(*,"(////////)")

IF (sel==1) THEN
  WRITE(3,"(' CALCOLO ESEGUITO CON NEUTRO INTERROTTO',/,&
         &  ' IPOTESI 1',/)")
  WRITE(3,"(' Resistenza di linea RL= ',F4.2,A)")RL,' ohm/Km'
  WRITE(3,"(' Reattanza  di linea XL= ',F4.2,A)")XL,' ohm/Km'
  WRITE(3,"(' Lunghezza linea      L= ',F4.2,A)")L,'  Km'
ELSE IF (sel==2) THEN
  WRITE(3,"(' CALCOLO ESEGUITO CON NEUTRO AD IMPEDENZA ZERO',/,&
         &  ' IPOTESI 2',/)")
  WRITE(3,"(' Resistenza di linea RL= ',F4.2,A)")RL,' ohm/Km'
  WRITE(3,"(' Reattanza  di linea XL= ',F4.2,A)")XL,' ohm/Km'
  WRITE(3,"(' Lunghezza linea      L= ',F4.2,A)")L,'  Km'       
ELSE IF (sel==3) THEN
  WRITE(3,"(' CALCOLO ESEGUITO CON NEUTRO LA CUI IMPEDENZA ',/,&
         &  ' E'' DEFINITA DALL'' UTENTE - IPOTESI 3',/)")  
  WRITE(3,"(' Resistenza di linea   RL= ',F4.2,A)")RL,' ohm/Km'
  WRITE(3,"(' Reattanza  di linea   XL= ',F4.2,A)")XL,' ohm/Km'
  WRITE(3,"(' Resistenza del neutro Rn= ',F4.2,A)")Rn,' ohm/Km'
  WRITE(3,"(' Reattanza  del neutro Xn= ',F4.2,A)")Xn,' ohm/Km'
  WRITE(3,"(' Lunghezza linea        L= ',F4.2,A)")L,'  Km'            
END IF

WRITE(3,"(' Tensione di fase in partenza della linea',/, &
       &  ' Vp =',F8.2,A,/)")Vp,'volt'

DO i= 1,3
  WRITE(3,"(' Carico su fase '&
         & ,I1,F8.1,' KW',' cosf ',F4.2 )")i,P(i),cosf(i)
END DO         

! Tensioni di fase in partenza della linea in forma complessa
V(1)= CMPLX (Vp,0.)
V(2)= CMPLX (-Vp * 0.5 ,-Vp * SQRT(3.)/2)
V(3)= CMPLX (-Vp * 0.5 , Vp * SQRT(3.)/2) 

V0= (V(1)*Yt(1)+V(2)*Yt(2)+V(3)*Yt(3))/(Yt(1)+Yt(2)+Yt(3)+Yn)

WRITE(3,"(/' Tensione V0''0 tra centro reale e centro astratto ',/,&
       &   ' V0''0 =',2F8.2,A)")V0,' volt'
WRITE(3,"(' Tensione V0''0 in modulo'/,&
       &  ' V0''0 =',F8.2,A,/)") SQRT(REAL(V0)**2+AIMAG(V0)**2),' volt'
       
WRITE(3,"(' Tensioni Vt in forma complessa')")
DO i= 1,3
  Vt(i)= V(i)-V0
  WRITE(3,"(' Vt',I1,'0 =',2F8.2,A)")&
         &    i,Vt(i),' volt'
END DO

WRITE(3,"(/,' Tensioni Vt in modulo')")
DO i= 1,3
  WRITE(3,"(' Vt',I1,'0 =',F8.2,A)") &
         & i, SQRT(REAL(Vt(i))**2+AIMAG(Vt(i))**2),' volt'
END DO         

I0 = Yn*V0
WRITE(3,"(/,' Corrente sul neutro I0',2F8.2,A)")I0,' amp'
WRITE(3,"(' Modulo corrente sul neutro I0 ',F8.2,A,/)")&
       &    SQRT(REAL(I0)**2+AIMAG(I0)**2),' amp'

ZL=CMPLX(RL*L,XL*L)

WRITE(3,"(' Correnti Ic dei carichi in forma complessa')")
DO i = 1,3
  Ic(i) = Yt(i)*Vt(i)
  WRITE(3,"(' Ic',I1,' =',2F8.2,A)")i,Ic(i),' amp'
END DO  

WRITE(3,"(/,' Correnti dei carichi Ic in modulo')")
DO i = 1,3
  WRITE(3,"(' Ic',I1,' =',F8.2,A)")&
         & i,SQRT(REAL (Ic(i))**2+AIMAG(Ic(i))**2),' amp'
END DO         

WRITE(3,"(/,' Tensioni Vc sui carichi in forma complessa')")
DO i= 1,3
  Vc(i)= Vt(i)-(ZL*Ic(i))
  WRITE(3,"(' Vc',I1,'''0 =',2F8.2)")i,Vc(i)
END DO

WRITE(3,"(/,' Tensioni Vc sui carichi in modulo')")
DO i= 1,3
  WRITE(3,"(' Vc',I1,'''0 =',F8.2,A)") &
         &  i,SQRT(REAL(Vc(i))**2+AIMAG(Vc(i))**2),' volt'
END DO 
CLOSE(3)  

WRITE(*,"(' Per visualizzare i risultati del calcolo apri il file',/&
       &  ' Risultati.txt, premi invio per continuare')")
READ(*,*)
STOP      
END PROGRAM Sp_Centro_Stella

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Spostamento centro stella e ipotesi sulla condizione del neutro

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