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Reti di sequenza

Di tanto in tanto capito su articoli di alcuni anni fa e decido di farne una nuova edizione, od ampliarli, armonizzandoli con gli altri del blog, in particolare per le formule matematiche ed i disegni. In questo caso si tratta del metodo usato nello studio dei sistemi trifasi dissimmetrici e squilibrati negli impianti elettrici.

Indice

Generalità

Normalmente le tensioni di un sistema trifase sono simmetriche ed i carichi importanti, equilibrati. Squilibri normali si hanno con carichi monofase e, nella distribuzione in bassa tensione, l'equilibrio può essere solo di tipo statistico.
Si hanno poi dissimmetrie e squilibri in caso di guasti (rottura dell’isolamento) ed interruzioni di fasi.
E’ necessario affrontare lo studio della rete trifase anche nelle condizioni anomale di guasto per dimensionarne le protezioni.
Si può ricorrere al sistema di equazioni derivato dai principi di Kirchhoff, ma per utilizzare considerazioni e formule dei sistemi equilibrati, ed anche per comprendere meglio la dipendenza di tensioni e correnti dai componenti dell'impianto, è utile la teoria delle componenti simmetriche.

Scomposizione di una terna dissimmetrica

Si può dimostrare che qualsiasi terna di vettori può essere scomposta in tre terne:
la simmetrica di sequenza diretta, la simmetrica di sequenza inversa e l’omopolare o sequenza zero.

La terna diretta è costituita da tre vettori uguali sfasati di 120° che si susseguono nel senso ciclico orario, stabilito nella rappresentazione grafica.

{{\dot E}_{d1}} = {E_d}\angle \beta \quad {{\dot E}_{d2}} = {E_d}\angle \beta - 2 \pi /3 \quad {{\dot E}_{d3}} = {E_d}\angle \beta + 2 \pi /3

la terna inversa è costituita da tre vettori uguali e sfasati di 120 ° che si susseguono nel senso ciclico inverso (antiorario)

{{\dot E}_{i1}} = {E_i}\angle \gamma \quad {{\dot E}_{i2}} = {E_i}\angle \gamma + 2 \pi /3 \quad {{\dot E}_{i3}} = {E_i}\angle \gamma - 2 \pi /3

la terna omopolare è costituita da tre vettori in fase

{{\dot E}_{o1}} = {E_o}\angle \delta \quad {{\dot E}_{o2}} = {E_o}\angle \delta \quad {{\dot E}_{o3}} = {E_o}\angle \delta.

Definendo l'operatore complesso
\dot \alpha = \angle 2\pi /3 = {e^{{\rm{j}}\frac{2}{3}\pi }} = - \frac{1}{2} + {\rm{j}}\frac{{\sqrt 3 }}{2}
che, moltiplicato per un vettore lo fa ruotare in senso antiorario di 120° senza modificarne il modulo, la terna diretta si può scrivere in questo modo

{{\dot E}_{d1}} = {{\dot E}_d};{{\dot E}_{d2}} = {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_d};{{\dot E}_{d3}} = \dot \alpha {{\dot E}_d}

la terna inversa in quest'altro

{{\dot E}_{i1}} = {{\dot E}_i};{{\dot E}_{i2}} = \dot \alpha {{\dot E}_i};{{\dot E}_{i3}} = {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_i}

e, per la terna omopolare si può scrivere ovviamente

{{\dot E}_{o1}} = {{\dot E}_{o2}} = {{\dot E}_{o3}} = {{\dot E}_o}

Nella figura sequente è mostrato graficamente come la composizione delle tre terne simmetriche dia luogo alla terna dissimmetrica E_1 \, , \, E_2 \, , \, E_3.

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Matematicamente i grafici corrispondono alle espressioni

\begin{array}{l} {{[1] \quad \dot E}_1} = {{\dot E}_{o1}} + {{\dot E}_{d1}} + {{\dot E}_{i1}} = {{\dot E}_o} + {{\dot E}_d} + {{\dot E}_i}\\ {{[2] \quad \dot E}_2} = {{\dot E}_{o2}} + {{\dot E}_{d2}} + {{\dot E}_{i2}} = {{\dot E}_o} + {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_d} + \dot \alpha {{\dot E}_i}\\ {{[3] \quad \dot E}_3} = {{\dot E}_{o3}} + {{\dot E}_{d3}} + {{\dot E}_{i3}} = {{\dot E}_o} + \dot \alpha {{\dot E}_d} + {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_i} \end{array}

Partendo invece dalla terna dissimmetrica, si possono ottenere le tre terne simmetriche.
Possiamo infatti vedere che, sommando le tre equazioni scritte in precedenza e tenendo presente che

1 + \dot \alpha + {{\dot \alpha }^2} = 0

si ottiene

[4] \quad{{\dot E}_1} + {{\dot E}_2} + {{\dot E}_3} = 3{{\dot E}_o}

da cui si ricava il vettore della terna omopolare, \dot E_o

Dopo aver moltiplicato i due membri della seconda per \dot \alpha^2 e quelli della terza per \dot \alpha, tenendo presente che

\dot \alpha^3=1 \quad \dot \alpha^4=\dot \alpha

si ha

\begin{array}{l} {{\dot E}_1} = {{\dot E}_{o1}} + {{\dot E}_{d1}} + {{\dot E}_{i1}} = {{\dot E}_o} + {{\dot E}_d} + {{\dot E}_i}\\ \dot \alpha {{\dot E}_3} = \dot \alpha {{\dot E}_o} + {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_d} + {{\dot \alpha }^3}{{\dot E}_i} = \dot \alpha {{\dot E}_o} + {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_d} + {{\dot E}_i}\\ {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_3} = {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_o} + {{\dot \alpha }^3}{{\dot E}_d} + {{\dot \alpha }^4}{{\dot E}_i} = {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_o} + {{\dot E}_d} + \dot \alpha {{\dot E}_i} \end{array}

Sommando le tre equazioni, sempre ricordando che 1 + \dot \alpha + {{\dot \alpha }^2} = 0 si ottiene

[5] \quad {{\dot E}_1} + \dot \alpha {{\dot E}_2} + {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_3} = 3{{\dot E}_d}

da cui si ricava \dot E_d , il primo vettore della terna diretta.

Con procedura analoga si può ricavare il primo vettore della terna inversa

\begin{array}{l} {{\dot E}_1} = {{\dot E}_o} + {{\dot E}_d} + {{\dot E}_i}\\ {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_2} = {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_o} + {{\dot \alpha }^4}{{\dot E}_d} + {{\dot \alpha }^3}{{\dot E}_i} = {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_o} + \dot \alpha {{\dot E}_d} + {{\dot E}_i}\\ \dot \alpha {{\dot E}_3} = \dot \alpha {{\dot E}_o} + {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_d} + {{\dot \alpha }^3}{{\dot E}_i} = \dot \alpha {{\dot E}_o} + {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_d} + {{\dot E}_i} \end{array}

[6] \quad {{\dot E}_1} + {{\dot \alpha }^2}{{\dot E}_2} + \dot \alpha {{\dot E}_3} = 3{{\dot E}_i}

Il seguente grafico corrisponde alle precedenti operazioni algebriche

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Nota:

Nella precedente discussione si sono rappresentati i vettori con il simbolo E, in genere usato per le forze elettromotrici. Non bisogna per questo pensare che ci si riferisca solo alle tensioni: la scomposizione è valida qualunque sia la grandezza elettrica che il vettore ( meglio fasore) rappresenta

Circuiti monofase equivalenti

Un sistema trifase simmetrico ed equilibrato può essere studiato riferendosi ad un circuito monofase detto circuito monofase equivalente. In tale circuito la tensione del generatore è la tensione stellata del sistema, mentre le impedenze dei carichi sono quelle della stella equivalente. Ricordiamo che un collegamento a triangolo può essere sostituito da un collegamento a stella dove le impedenze sono un terzo di quelle del triangolo. Le impedenze longitudinali delle linee, dei generatori e dei trasformatori, sono in serie alle impedenze della stella, quelle trasversali in derivazione.
In definitiva un sistema trifase simmetrico ed equilibrato di tensione nominale U (che è la tensione concatenata), se \dot Z_Y è l'impedenza di un ramo della stella equivalente, \dot Z_L l'impedenza longitudinale di linee ed apparecchiature è riconducibile al circuito

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che ne rappresenta una fase, quindi un terzo delle potenze in gioco. La corrente di quella fase si calcola con

{\dot I_l} = \frac{{\frac{U}{{\sqrt 3 }}}}{{{{\dot Z}_l} + {{\dot Z}_y}}}

Per le altre due fasi basta costruire la terna simmetrica sia delle tensioni che delle correnti a partire dalle grandezze di quella rappresentata.


Bipoli di sequenza

In presenza di squilibri e dissimmetrie tensioni e correnti in un sistema trifase danno luogo a terne dissimmetriche. Ogni terna dissimmetrica, come mostrato, tensioni o correnti che siano, può essere scomposta in tre terne simmetriche. Se ogni terna simmetrica di tensioni dà luogo ad una terna di correnti dello stesso tipo, il sistema trifase dissimmetrico e squilibrato può essere ricondotto allo studio di tre sistemi simmetrici, ognuno dei quali si risolve ricorrendo al circuito monofase equivalente che vi corrisponde.
Ciò vale per le reti trifasi simmetriche. In conseguenza delle loro caratteristiche costruttive, si assume che gli elementi delle normali reti trifasi (alternatori, linee, trasformatori) godano di tale proprietà, e che la stessa ipotesi valga anche per i carichi equilibrati in genere, motori asincroni compresi.
La situazione che si presenta allora in una sezione di impianto, può essere pensata come la sovrapposizione dei regimi di tre bipoli monofasi indipendenti. Il bipolo alla sequenza diretta, quello alla sequenza inversa, quella alla sequenza zero. Per ognuno di questi circuiti si può stabilire una equazione del tipo \dot E = {{\dot E}_v} - \dot Z\dot I dove \dot E rappresenta la tensione presente nella sezione allo studio corrispondente alla sequenza considerata, \dot E_v la tensione a vuoto prodotta da quella sequenza, \dot I la corrente a quella sequenza e \dot Z l'impedenza relativa. La figura riassume quanto esposto

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Le equazioni dei tre bipoli sono dunque

\begin{array}{l} {{\dot E}_d} = {{\dot E}_{dv}} - {{\dot Z}_d}{{\dot I}_d}\\ {{\dot E}_i} = {{\dot E}_{iv}} - {{\dot Z}_i}{{\dot I}_i}\\ {{\dot E}_o} = {{\dot E}_{ov}} - {{\dot Z}_o}{{\dot I}_o} \end{array}

Le impedenze \dot Z_d \, , \, \dot Z_i \,, \, \dot Z_o si determinano imponendo, nella sezione considerata, una arbitraria terna di tensioni, rispettivamente di sequenza diretta, inversa e zero, dopo aver spento i generatori della rete, calcolandone la rispettiva terna di correnti, e facendo il rapporto tra una delle tensioni di fase imposte e la corrente da essa generata. In pratica si ricava il generatore di Thevenin della rete visto nella sezione considerata, per ogni sequenza.
In genere poi, si ammette che i generatori della rete, diano luogo a sole tensioni di sequenza diretta per cui si assumerà \dot E_{iv}=\dot E_{ov}=0. I bipoli di sequenza diventano perciò

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\begin{array}{l} {{\dot E}_d} = {{\dot E}_{dv}} - {{\dot Z}_d}{{\dot I}_d}\\ {{\dot E}_i} = - {{\dot Z}_i}{{\dot I}_i}\\ {{\dot E}_o} = - {{\dot Z}_o}{{\dot I}_o} \end{array}

Applicazione: cortocircuito fase-neutro

Supponiamo ci sia un cortocircuito tra la fase 1 ed il neutro mentre le altre due fasi sono integre. Ciò significa che
\begin{array}{l} {{\dot E}_1} = 0\\ {{\dot I}_2} = {{\dot I}_3} = 0 \end{array}

Applicando le [4],[5],[6] alla terna dissimmetrica delle correnti (\dot I_1 \, , \, \dot I_2 \, , \, \dot I_3) si ottiene
{{\dot I}_d} = {{\dot I}_i} = {{\dot I}_o} = \frac{{{{\dot I}_1}}}{3}

Applicando le relazioni che definiscono i bipoli di sequenza e tenendo conto della precedente uguaglianza

\begin{array}{l} {{\dot E}_d} = {{\dot E}_v} - {{\dot Z}_d}{{\dot I}_d}\\ {{\dot E}_i} = - {{\dot Z}_i}{{\dot I}_i} = - {{\dot Z}_i}{{\dot I}_d}\\ {{\dot E}_o} = - {{\dot Z}_o}{{\dot I}_o} = - {{\dot Z}_o}{{\dot I}_d} \end{array}

Sommando le equazioni ed applicando la [1] si ha
0 = {{\dot E}_v} - {{\dot Z}_d}{{\dot I}_d} - {{\dot Z}_i}{{\dot I}_d} - {{\dot Z}_o}{{\dot I}_d}
da cui
{{\dot I}_1} = 3 \dot I_d=\frac{{3{{\dot E}_v}}}{{{{\dot Z}_d} + {{\dot Z}_i} + {{\dot Z}_o}}}
Tutto avviene come se i tre bipoli fossero in serie a formare un circuito chiuso

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Impedenze di sequenza

Per il calcolo della tensione a vuoto dei bipoli, basterà, in genere, come già osservato, determinare quella alla sequenza diretta nel funzionamento normale. Nella maggior parte dei casi la si considererà uguale alla tensione nominale del sistema.
Per le impedenze di sequenza, occorre invece considerare tutti e tre i casi. Conoscendo la struttura della rete (generatori, trasformatori, linee, carichi) ed il regime normale di funzionamento è possibile ricavare, con i soliti metodi di calcolo, i parametri che definiscono i bipoli. Si rappresentano gli elementi di rete con gli schemi equivalenti che ne descrivono il funzionamento alla sequenza considerata, collegandoli secondo la configurazione della rete.
Quanto segue ha lo scopo di fornire un'idea dei valori delle impedenze di sequenza negli impianti di produzione e distribuzione, senza entrare nei dettagli.

\dot Z_d

L'impedenza alla sequenza diretta è quella che si deduce dopo aver rappresentato gli elementi della rete con i circuiti equivalenti, più o meno semplificati, impiegati nella trattazione del normale funzionamento trifase.

  • Per una macchina sincrona in regime permanente, coincide con la reattanza di dispersione o con la reattanza sincrona, a seconda che la macchina sia provvista o meno di regolatore automatico di tensione in grado di mantenere invariato il flusso al traferro. La reattanza sincrona riferita alla impedenza di base data dal rapporto tra la tensione nominale stellata della macchina e la corrente nominale, varia dal 40% al 250%. E' bene ricordare che molte sono le reattanze di cui tenere conto per le macchine sincrone a seconda del regime che si desidera considerare e sono fornite dal costruttore. Rimando per esse alla letteratura specifica. Potrà essere argomento ad ogni modo di un nuovo articolo. Per ora segnalo qualche link, nell'ultimo paragrafo, che accenna all'argomento.
  • Per i trasformatori coincide in pratica con la reattanza di cortocircuito.
  • Per i motori sincroni dipende dalla potenza erogata.
  • Per le linee di trasmissione con i valori che si ottengono dai parametri di esercizio che le caratterizzano.

\dot Z_i

Differisce da \dot Z_d solo nel caso di macchine rotanti.

  • Per una macchina sincrona, tanto per averne un'idea, si può considerare un'impedenza pari al 20% dell'impedenza sincrona, ma è un valore in realtà molto variabile comunque dell'ordine di grandezza della reattanza subtransitoria.
  • Per i motori asincroni, l'impedenza alla sequenza inversa corrisponde in pratica all'impedenza di cortocircuito.
  • Per i trasformatori è uguale all'impedenza di sequenza diretta come per le linee.

\dot Z_o

Qui le cose cambiano abbastanza radicalmente ed il valore dell'impedenza zero dipende dall'esistenza o meno di collegamenti che consentono la circolazione di correnti omopolari.

  • Per una macchina sincrona con avvolgimento a stella, se il centro stella non è accessibile, l'impedenza zero è infinita. Se invece il neutro è accessibile e collegato a terra \dot Z_0 è, per averne un'idea, dell'ordine del 10% dell'impedenza sincrona. Occorre poi considerare in questo caso anche l'impedenza del collegamento a terra: il triplo del suo valore deve essere aggiunto all'impedenza omopolare della macchina.
  • Per un motore asincrono, mancando sempre il sneutro, l'imedenza alla sequenza zero è infinita.
  • Per i trasformatori dipende dal tipo di collegamento degli avvolgimenti e dalla struttura del circuito magnetico.

Vediamo i casi più importanti.

    • Collegamento triangolo-stella con centro stella collegato a terra. E' quello generalmente usato nella trasformazione MT/bt. Le correnti ompolari possono circolare negli avvolgimenti del secondario per il collegamento a terra e negli avvolgimenti primari perché possono richiudersi nel triangolo. L'impedenza di sequenza zero coincide allora con l'impedenza di cortocircuito del trasformatore. Le correnti di sequenza zero non circolano invece nella linea che alimenta il primario per cui ciò che sta a monte corrisponde, per la sequenza zero, ad una impedenza infinita. L'avvolgimento a triangolo rappresenta dunque per tali correnti un blocco
    • Collegamento stella-stella con entrambi i centri stella a terra. Le correnti omopolari possono circolare sia nei secondario che nel primario per cui l'impedenza omopolare coincide, come nel caso precedente, con l'impedenza di cortocircuito del trasformatore. A differenza però del caso precedente, le correnti omopolari possono ora circolare anche nella linea che alimenta i primari, quindi vanno considerate le impedenze a monte per determinare la totale impedenza di sequenza zero della rete considerata.
    • collegamento stella-stella con collegamento di un solo centro stella a terra. Non potendo circolare le correnti di sequenza zero negli avvolgimenti non collegati a terra, l'impedenza di sequenza zero è molto elevata e dipende dalla struttura del circuito magnetico. Nel caso più frequente di trasformatori a tre colonne, cioè a flussi vincolati, in genere l'impedenza zero è dell'ordine del 10% dell'impedenza a vuoto del trasformatore. Nel caso invece dei trasfornmatori a flussi liberi (trasformatori a 5 colonne o tre trasformatori monofase indipendenti, l'impedenza alla sequenza zero coincide con l'impedenza a vuoto.
  • Per le linee la \dot Z_o dipende dalla disposizione dei conduttori, dalla presenza o meno della fune di guardia, dalla resistività del terreno. Come ordine di grandezza si può assumere un valore che va da tre a cinque volte l'impedenza alla zequenza diretta.

Esempio qualitativo

Un generatore sincrono con centro stella collegato a terra, alimenta un trasformatore MT/BT planare, con collegamento triangolo stella e centro stella a terra che, tramite una linea lunga l alimenta un motore asincrono e tre resistenze uguali collegate tra fasi e neutro.
Lo schema unifilare è riportato nella figura. Nella stessa figura poi sono rappresentati i circuiti da considerare per ogni sequenza, sostituendo agli elementi elettrici lo schema equivalente secondo le indicazioni in precedenza fornite.
Ad esempio si considera solo esistente la tensione di sequenza diretta; l'impedenza diretta della macchina sincrona è la reattanza sincrona; quella inversa è assunta pari al 20% della sincrona, quella alla sequenza zero pari al 10%. Le correnti di sequenza zero possono circolare per la presenza del collegamento a terra del centro stella.
Lo schema del trasformatore è il solito equivalente, con le normali reattanze di cortocircuito XccT e di magnetizzazione X0T sia per la sequenza diretta che per l'inversa. Per la sequenza zero invece esso rappresenta un blocco per le correnti omopolari (primario aperto verso il generatore) e la reattanza di magnetizzazione, essendo i flussi vincolati, quindi dovendosi richiudere con percorsi in aria tra giogo e giogo, è molto più bassa della normale reattanza di magnetizzazione, ed è stata assunta pari a 10 volte la reattanza di cortocircuito.
L'impedenza di linea per tutti e tre i circuiti di sequenza si trova moltiplicando reattanza e resistenza unitarie per la lunghezza della linea. La resistenza R è identica in tutte e tre i circuiti, mentre l'impedenza alla sequenza zero del motore è infinita; quella alla sequenza inversa pari alla reattanza di cortocircuito, quella alla sequenza diretta è dipendente dalla potenza erogata.
Se si ha un guasto a terra in S, dei tre circuiti disegnati si ricaverà il generatore di Thevenin vista da S, ottenedo i tre biboli di sequenza che, per calcolare la corrente di guasto, vanno ora messi in serie.
Per la ETh del generatore equivalente visto dalla sezione S in genere, senza tanti calcoli, si considera la tensione nominale a vuoto del sistema.
La \dot Z_{Th} è il parallelo tra l'impedenza equivalente dei carichi e l'equivalente del sistema di generazione e trasmissione. In genere l'impedenza dei carichi è abbastanza maggiore di quella del sistema di trasmissione, così che non occorre conoscerla con precisione ed è anche possibile in certi casi trascurarla senza commenttere grandi errori.

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Biblografia e link

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Commenti e note

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di ,

La reattanza alla sequenza zero è in pratica dovuta alla sola reattanza di dispersione dell'avvolgimento, mentre la reattanza sincrona è la somma della reattanza di dispersione e della reattanza dovuta alla reazione di indotto. Quest'ultima è in genere molto maggiore della reattanza di dispersione. La reattanza della reazione di indotto è una coseguenza del campo rotante generato dalle correnti di statore, campo rotante che non c'è se la terna di correnti è omopolare.

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di ,

C'è una dimostrazione per spiegare che la reattanza omopolare X0 del genreratore sincrono è il 10% di quella sincrona? Grazie

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di ,

Grazie Admin queste rispolverate fanno sempre bene.

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di ,

Molto molto molto bello! Per ora ho solo letto le prime righe ma dopo cena lo leggo con la dovuta calma. Grazie mille admin per questa nuova edizione!

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