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1 Abstract
2 [87] Teoria di un sistema di conduttori
- 2.1 Coefficienti di potenziale e di induzione
3 [88] Dimensioni dei coefficienti
4 [89] Condizioni cui i coefficienti devono soddisfare
- 4.1 89.a]
- 4.2 89 b.]
- 4.3 89 c.]
- 4.4 89 d.]
- 4.5 89 e.]
- 4.6 90.a]
- 4.7 90.b]
- 4.8 91.]
- 4.9 92.]
5 Riferimento

Abstract

Una discussione di Elettrostatica mi ha portato a leggere quanto scriveva James Clerk Maxwell sui coefficienti di potenziale nel suo Trattato su elettricità e magnetismo un secolo e mezzo fa. Ho pensato di proporre la traduzione dei paragrafi relativi alla teoria dei sistemi di conduttori.

Spesso ci viene chiesto che libro leggere per...imparare tutto, facilmente ed in poco tempo. Si risponde che non ci si deve illudere che basti un libro, non tanto per sapere tutto, ma per sapere anche solo qualcosa. I libri fondamentali però ci sono. Sono i libri di chi è stato artefice del progresso scientifico. Sono i classici, le vere fonti del nostro sapere, qual è appunto il Trattato di Maxwell.

Lo scopo dell'articolo è dunque duplice: da un lato acquisire nozioni utili per la discussione, dall'altro, ed è probabilmente la motivazione principale, mostrare come un grandissimo analizza matematicamente un problema fisico e scoprire come si fa a non dimostrare 150 anni.

[87] Teoria di un sistema di conduttori

Coefficienti di potenziale e di induzione

Siano $A_1, \, A_2,\,...,\,A_n, n$ conduttori di forma qualsiasi; siano $e_1, \, e_2, \, ..., e_n$ le cariche su di essi;siano $V_1,\, V_2,\, ...,\, V_n$ i loro potenziali.

Supponiamo che il mezzo dielettrico che li separa rimanga lo stesso e non si carichi elettricamente durante le operazioni che considereremo.

Si è visto che all'art. 84, il potenziale di ciascun conduttore è una funzione lineare omogenea delle $n$ cariche.

Quindi poiché l'energia elettrica di un sistema è la semisomma dei prodotti dei potenziali di ciascun conduttore per la carica in esso contenuta, l'energia elettrica deve essere una funzione quadratica omegenea delle $n$ cariche, della forma

$W_e = \frac{1}{2}p_{11} \cdot e_1^2 + p_{12} \cdot e_1 \cdot e_2 + \frac{1}{2}p_{22} \cdot e_2^2 + p_{13} \cdot e_1 \cdot e_3 +$ $+ p_{23} \cdot e_2 \cdot e_3 + \frac{1}{2}p_{33} \cdot e_3^2 + \,... [15]$

Il suffisso $e$ indica che $W$ è espresso come una funzione delle cariche. Quando $W$ è scritto senza suffisso indica l'espressione (3) $\left[ {W = \frac{1}{2}\sum {\left( {eV} \right):{\rm{ndr}}} } \right]$ in cui intervengono sia le cariche che i potenziali.

Da questa espressione noi possiamo ricavare il potenziale di ogni conduttore. Poiché il potenziale è definito come il lavoro che deve essere fatto per portare l'unità di carica elettrica dal potenziale zero al dato potenziale, e poiché tale lavoro è speso per aumentare $W$ , noi dobbiamo derivare $W e$ rispetto alla carica del conduttore dato per ottenerne il potenziale. Otterremo:

$\left. \begin{array}{l} V_1 = p_{11} \cdot e_1 ... + p_{r1} \cdot e_r ... + p_{n1} \cdot e_n \\ - - - - - - - - - - - - - - - - \\ V_s = p_{1s} \cdot e_1 ... + p_{rs} \cdot e_r ... + p_{ns} \cdot e_n \\ - - - - - - - - - - - - - - - - \\ V_n = p_{1n} \cdot e_1 ... + p_{rn} \cdot e_r ... + p_{nn} \cdot e_n \\ \end{array} \right\rangle (16)$

un sistema di n equazioni lineari che esprime gli $n$ potenziali in funzione delle $n$ cariche.

I coefficienti $p r s$ sono chiamati coefficienti di potenziale. Essi hanno due suffissi: il primo corrisponde alla carica, il secondo al potenziale. Il coefficiente $p r r$ , in cui i due suffissi sono gli stessi, indica il potenziale di $A r$ quando la sua carica è unitaria, mentre quella di tutti gli altri conduttori diventa nulla. Ci sono $n$ coefficienti di questa specie, uno per ogni conduttore.

Il coefficiente $p r s$ , in cui i suffissi sono diversi, indica il potenziale di $A s$ quando $A r$ riceve una carica unitaria mentre la carica di tutti gli altri conduttori, eccetto $A r$ , diventa nulla. Abbiamo mostrato in art. [86] che $p s r = p r s$ , ma possiamo dimostrarlo più rapidamente, considerando

$p_{rs} = \frac{{\text{d}V_s }}{{\text{d}e_r }} = \frac{\text{d}}{{\text{d}e_r }}\frac{{\text{d}W_e }}{{\text{d}e_s }} = \frac{\text{d}}{{\text{d}e_s }}\frac{{\text{d}W_e }}{{\text{d}e_r }} = \frac{{\text{d}V_r }}{{\text{d}e_s }} = p_{sr} \, [17]$

Il numero dii coefficienti diversi che hanno differenti suffissi è dunque $\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)$ , essendo uno per ciascuna coppia di conduttori.

Risolvendo le equazioni (16) rispetto alle cariche, otteniamo $n$ equazioni che forniscono le cariche in funzione dei potenziali.

$\left. \begin{array}{l} e_1 = q_{11} \cdot V_1 ... + q_{r1} \cdot V_r ... + q_{n1} \cdot V_n \\ - - - - - - - - - - - - - - - - \\ e_s = q_{1s} \cdot V_1 ... + q_{rs} \cdot V_r ... + q_{ns} \cdot V_n \\ - - - - - - - - - - - - - - - - \\ e_n = q_{1n} \cdot V_1 ... + q_{rn} \cdot V_r ... + q_{nn} \cdot V_n \\ \end{array} \right\rangle (18)$

In questo caso abbiamo che $q r s = q s r$

$q_{rs} = \frac{{\text{d}e_s }}{{\text{d}V_r }} = \frac{\text{d}}{{\text{d}V_r }}\frac{{\text{d}W_V }}{{\text{d}V_s }} = \frac{\text{d}}{{\text{d}V_s }}\frac{{\text{d}W_V }}{{\text{d}V_r }} = \frac{{\text{d}e_r }}{{\text{d}V_s }} = q_{sr} {\rm{ }}(19)$

Sostituendo i valori delle cariche nell'equazione dell'energia elettrica

$W = \frac{1}{2}\left[ {e_1 V_1 ... + e_r V_r ... + e_n V_n } \right]{\rm{ (20)}}$

otteniamo l'espressione dell'energia in funzione dei potenziali

$\begin{array}{l} W_V = \frac{1}{2}q_{11} \cdot V_1^2 + q_{12} \cdot V_1 \cdot V_2 + \frac{1}{2}q_{22} \cdot V_2^2 + q_{13} \cdot V_1 \cdot V_3 + \\ + q_{23} \cdot V_2 \cdot V_3 + \frac{1}{2}q_{33} \cdot e_3^2 + ...(21) \\ \end{array}$

Il coefficiente in cui i due suffissi sono gli stessi è detto Capacità elettrica del conduttore cui esso si riferisce.

Definizione. La capacità di un conduttore è la sua carica quando il suo potenziale è unitario e quello di tutti gli altri conduttori è nullo.

Questa è l'appropriata definizione di capacità, quando non vengono fatte ulteriori specificazioni. Ma in certi casi è conveniente specificare le condizioni di alcuni o di tutti gli altri conduttori in un diverso modo, come ad esempio supporre che la carica di alcuni di essi sia nulla, e possiamo allora definire la capacità del conduttore in queste condizioni come la sua carica quando il suo potenziale è unitario. Gli altri coefficienti sono chiamati coefficienti di induzione. Ognuno di essi, come $q r s$ , indica la carica di $A r$ quando $A s$ ha il potenziale unitario, mentre il potenziale di tutti gli altri, eccetto $A s$ , è nullo.

Il calcolo matematico dei coefficienti di potenziale e delle capacità è in genere difficile. Mostreremo, più avanti, che essi hanno sempre un preciso valore, ed in certi speciali casi noi potremo calcolare questo valore. Mostreremo anche come essi possano essere ricavati sperimentalmente.

Se si parla della capacità di un conduttore senza specificare la forma e la posizione di un qualsiasi altro conduttore facente parte dello stesso sistema, deve essere intesa come la capacità del conduttore quando non ci sono altri conduttori o corpi elettricamente carichi a distanza finita dal conduttore cui ci si riferisce.

E' talora conveniente, quando si ha a che fare solo con capacità e coefficienti di induzione, scriverli nella forma $[A . P]$ , simbologia utile per indicare la carica su $A$ quando $P$ è portato al potenziale unitario (con gli altri conduttori tutti a potenziale zero). In questo modo $[(A + B).(P + Q)]$ indicherà la carica su $A + B$ quando $P$ e $Q$ sono entrambi portati a potenziale unitario; ed è evidente che poiché $[(A + B).(P + Q)] = [A . P] + [A . Q] + [B . P] + [B . Q] = [(P + Q).(A + B)]$ , i simboli composti possono essere combinati con addizioni e moltiplicazioni come se fossero simboli di quantità. Il simbolo A.A] indica la carica su $A$ quando il potenziale di $A$ è unitario, il che significa capacità di $A$ .

Allo stesso modo $[(A + B).(A + Q)]$ indica la somma delle cariche su $A$ e su $B$ quando $A$ e $Q$ sono portati a potenziale 1, mentre il potenziale di tutti gli altri conduttori è zero. Essa può essere scomposta in $[A . A] + [A . B] + [A . Q] + [B . Q]$ .

I coefficienti di potenziale non possono essere trattati nello stesso modo. I coefficienti di induzione rappresentano cariche, e tali cariche possono essere sommate, ma i coefficienti di potenziale rappresentano potenziali, e se il potenziale di $A$ è $V 1$ e quello di $B$ è $V 2$ , la somma $V 1 + V 2$ non ha un significato fisico, sebbene la differenza $V 1 - V 2$ rappresenti la forza elettromotrice tra $A$ e $B$ .

I coefficienti di induzione tra due conduttori possono essere espressi in termini di capacità dei conduttori e di quella dei due conduttori considerati insieme, in questo modo:

$[A.B]=\frac 1 2 [(A+B).(A+B)]-\frac 1 2 [A.A]-\frac 1 2 [B.B]$ .

[88] Dimensioni dei coefficienti

Poiché il potenziale di una carica $e$ alla distanza $r$ è $\frac e r$ , le dimensioni di una carica elettrica corrispondono al prodotto di un potenziale per una lunghezza. I coefficienti di capacità ed induzione hanno perciò la dimensione di una lunghezza, e ciascuno di essi può essere rappresentato da un segmento di retta la cui lunghezza non dipende dal sistema di unità di misura adottato.

Per la stessa ragione, ogni coefficiente di potenziale può essere rappresentato dall'inverso di una lunghezza.

[89] Condizioni cui i coefficienti devono soddisfare

89.a]

In primo luogo, poiché l'energia elettrica di un sistema è essenzialmente una quantità positiva, la sua espressione come funzione quadratica delle cariche o dei potenziali deve essere positiva, qualunque siano i valori, positivi o negativi, che possono avere cariche o potenziali. Ora le condizioni affinché una funzione quadratica omogenea di $n$ variabili sia sempre positiva sono $n$ e possono essere scritte in questo modo:

$\left. \begin{array}{l} p_{11} > 0 \\ \left| {\begin{array}{*{20}c} {p_{11} } & {p_{12} } \\ {p_{21} } & {p_{22} } \\ \end{array}} \right| > 0 \\ - - - - - - - \\ \left| {\begin{array}{*{20}c} {p_{11} } & {..} & {p_{1n} } \\ {..} & {..} & {..} \\ {p_{n1} } & {..} & {p_{nn} } \\ \end{array}} \right| > 0 \\ \end{array} \right\rangle {\rm{ (22)}}$

Queste n condizioni sono necessarie e sufficienti per assicurare che $W e$ sia essenzialmente positiva.

Ma poiché nell'equazione (16) noi possiamo sistemare i conduttori in un qualsiasi ordine, ogni determinante deve essere positivo eesendo costituito simmetricamente dai coefficienti di ogni combinazione, il cui numero è $2 n - 1$

89 b.]

I coefficienti di potenziale sono tutti positivi, ma nessuno dei coefficienti $p r s$ è maggiore di quelli $p r r$ o $p s s$

Sia attribuita ad $A r$ la carica unitaria, con gli altri conduttori scarichi. Si formerà un insieme di superfici equipotenziali. Di tali superfici una è la superficie di $A r$ ed il suo potenziale sarà $p r r$ . Se $A s$ è sistemata in una cavità di $A r$ , in modo tale da esserne completamente racchiusa, il potenziale di $A s$ sarà $p r r$ .

Se, in qualunque modo, $A s$ è esterna ad $A r$ , il suo potenziale è $p r s$ che è compreso tra $p r r$ è zero.

Si considerino le linee di forza uscenti dal conduttore carico $A r$ . La carica è misurata dall'eccesso del numero di linee che da esso partono rispetto a quelle che in esso arrivano. Quindi, se il conduttore è scarico, il numero di linee che entrano nel conduttore deve essere uguale a quello delle linee che da esso partono. Le linee che vi arrivano provengono da posizioni che hanno un potenziale maggiore, e quelle che da esse partono da posizioni con potenziale inferiore. Quindi il potenziale di un conduttore scarico deve essere intermedio tra il più alto ed il più basso dei potenziali del campo, e perciò il più alto ed il più basso dei potenziali non possono essere quelli di un qualsiasi corpo scarico. Il maggiore potenziale deve perciò essere $p r r$ , che è quello del corpo carico, il più basso deve essere quello dello spazio a distanza infinita, che è zero, e tutti gli altri potenziali quali $p r s$ devono essere compresi tra $p r r$ e zero.

Se $A s$ circonda completamente $A t$ , allora $p r s = p r t$

89 c.]

Nessun coefficiente di induzione è positivo, e la somma di tutti quelli relativi ad un determinato conduttore è numericamente non maggiore del coefficiente di capacità di quel conduttore, il quale è sempre positivo.

Se $A r$ è mantenuto al potenziale unitario mentre tutti gli altri conduttori conservano il potenziale zero, allora la carica su $A r$ è $q r r$ e quella di ogni altro conduttore $A s$ è $q r s$ .

Il numero di linee di forza che convergono in $A r$ è $q r r$ . Di queste alcune arrivano in altri conduttori, altre proseguono fino all'infinito, ma nessuna linea di forza può passare attraverso uno qualsiasi degli altri conduttori o partire da essi verso l'infinito perché essi sono tutti a potenziale zero.

Nessuna linea di forza può partire da uno qualsiasi dei conduttori $A s$ , poiché nessuna parte del campo ha potenziale inferiore a zero. Se uno dei conduttori $A t$ circonda completamente $A r$ , allora le linee di forza da $A r$ convergono in $A t$ ed ai conduttori ad esso interni, e la somma dei coefficienti di induzione di questi conduttori rispetto ad $A r$ , sarà uguale a $q r r$ cambiato di segno.

Ma se $A r$ non è completamente circondato da alcun conduttore, la somma aritmetica dei coefficienti $q r s$ sarà inferiore numericamente a $q r r$ .

Abbiamo dedotto questi due teoremi indipendentemente, per mezzo di considerazioni elettriche. Possiamo allora lasciarlo allo studio matematico per determinare quale di essi è conseguenza matematica dell'altro.

89 d.]

Quando nel campo c'è un solo conduttore il coefficiente di potenziale ad esso relativo è l'inverso della sua capacità. Il baricentro della carica elettrica quando non ci sono forze elettriche esterne è chiamato centro elettrico del conduttore. Se il conduttore ha una forma che presenta un punto di simmetria, quel punto è il centro elettrico. Se le dimensioni del conduttore sono piccole rispetto alla distanze considerate, la posizione del centro elettrico "può essere stimata per congettura con sufficiente precisione (...my be extimate sufficiently nearly by conjecture...)"

Il potenziale alla distanza $c$ dal centro elettrico deve essere compreso tra

$\frac{e}{c}\left( {1 + \frac{{a^2 }}{{c^2 }}} \right)$ e $\frac{e}{c}\left( {1 - \frac{1}{2}\frac{{a^2 }}{{c^2 }}} \right)$

dove $e$ è la carica, $a$ la distanza più grande di una qualsiasi parte del corpo dal centro elettrico.

Nel caso in cui la carica sia concentrata in due punti opposti rispetto al centro elettrico ed a distanza $a$ da esso, la prima delle precedenti espressioni è il potenziale di un punto della linea che congiunge le cariche, il secondo di un punto della perpendicolare alla congiungente. Per qualsiasi altra distribuzione all'interno della sfera di raggio $a$ il potenziale è intermedio tra i due valori precedenti.

Se ci sono due conduttori nel campo, il loro mutuo coefficiente di potenziale è $\frac 1 {c'}$ , dove $c'$ può essere diverso da $c$ , la distanza tra i centri elettrici, di più di $\frac {a^2+b^2}{c}$ ; $a$ e $b$ essendo le più grandi distanze di una qualsiasi parte delle superfici dei corpi dai loro rispettivi centri elettrici.

89 e.]

Se un nuovo conduttore viene inserito all'interno del campo, il coefficiente di potenziale di qualsiasi altro conduttore rispetto a se stesso, diminuisce.

Se supponiamo dapprima che il corpo $B$ sia non conduttore, (con le stesse caratteristiche elettriche dell'aria), privo di carica in ogni sua parte, allora quando uno dei conduttori, $A 1$ , riceve la carica $e 1$ , la distribuzione di carica sui conduttori del sistema non sarà disturbata dalla presenza di $B$ , finché $B$ è privo di carica in ogni sua parte, per cui l'energia elettrica del sistema sarà semplicemente:

$\frac 1 2 e_1 V_1 = \frac 1 2 e_1^2 p_{11}$

Ora $B$ diventi un conduttore. Le cariche elettriche fluiranno dai punti a potenziale maggiore verso quelli a potenziale minore, ed in tal modo diminuirà l'energia del sistema, per cui la quantità $\frac 1 2 e_1^2 p_{11}$ deve diminuire. Ma $e 1$ è costante, perciò deve diminuire $p 11$ .

Se $B$ aumenta perché un altro corpo $b$ è posto in contatto con esso, $p 11$ diminuirà ulteriormente.

Supponiamo che dapprima non ci sia comunicazione elettrica tra $B$ e $b$ ; l'introduzione del nuovo corpo $b$ diminuisce $p 11$ . Ora stabiliamo una comunicazione tra $B$ e $b$ . Se qualsiasi flusso elettrico avviene, esso si stabilisce tra le zone a potenziale più alto verso quelle a potenziale più basso, e perciò, come abbiamo visto, di nuovo diminuisce $p 11$

Quindi la diminuzione di $p 11$ dovuto al corpo $B$ è maggiore di quella che sarebbe prodotta da un corpo che può essere inscritto in $B$ e minore di quella di un corpo che può circoscrivere $B$ .

Vedremo nel cap. XI che una sfera di diametro $b$ a distanza $r$ , grande se confrontata con $b$ , diminuisce il valore di $p 11$ di una quantità che è approssimativamente $\frac 1 8 \frac {b^3}{r^4}$ .

Quindi se $B$ ha una qualsiasi altra forma e se $b$ è il suo diametro maggiore, la diminuzione di $p 11$ è inferiore a $\frac 1 8 \frac {b^3}{r^4}$ .

Quindi se il più grande diametro di $B$ è così piccolo se confrontato con la sua distanza da $A 1$ , che può essere trascurata la quantità $\frac 1 8 \frac {b^3}{r^4}$ , noi possiamo ritenere che il reciproco della capacità di $A 1$ , quando è da solo nel campo sia con sufficiente approssimazione uguale a $p 11$ .

90.a]

Supponiamo perciò che la capacità di $A 1$ quando è da solo nel campo sia $K 1$ , quella di $A 2$ , $K 2$ , che la distanza media tra $A 1$ ed $A 2$ sia $r$ , con $r$ molto grande se confrontato con la più grande dimensione di $A 1$ ed $A 2$ ; in tal caso possiamo scrivere:

$p_{11} = \frac{1}{{K_1 }} \, , \, p_{12} = \frac{1}{r} \, ,\, p_{22} = \frac{1}{{K_2 }}$

$\begin{array}{l} V_1 = K_1^{ - 1} e_1 + r^{ - 1} e_2 \\ V_2 = r^{ - 1} e_1 + K_2^{ - 1} e_2 \\ \end{array}$

Quindi

$\begin{array}{l} q_{11} = K_1 \left( {1 - K_1 K_2 r^{ - 2} } \right)^{ - 1} \\ q_{12} = - K_1 K_2 r^{ - 1} \left( {1 - K_1 K_2 r^{ - 2} } \right)^{ - 1} \\ q_{22} = K_2 \left( {1 - K_1 K_2 r^{ - 2} } \right)^{ - 1} \\ \end{array}$

Di tali coefficienti $q 11$ e $q 22$ sono le capacità di $A 1$ ed $A 2$ quando, invece di essere da soli ad infinita distanza da ogni altro corpo, essi sono portati a distanza $r$ l'uno dall'altro.

90.b]

Quando due conduttori sono situati così vicini tra loro che il coefficiente di mutua induzione è elevato, la combinazione è chiamata Condensatore.

Siano $A$ e $B$ i due conduttori o elettrodi di un condensatore

Sia $L$ la capacità di $A$ , $N$ quella di $B$ , $M$ il coefficiente di mutua induzione.(Dobbiamo ricordare che $M$ è essenzialmente negativo, di modo che il valore numerico di $L + M$ ed $N + M$ sono minori di $L$ e di $N$ ).

Supponiamo che $a$ e $b$ siano gli elettrodi di un altro condensatore a distanza $R$ dal primo, essendo $R$ molto grande se confrontato con le dimensioni dei due condensatori, e supponiamo che i coefficienti di capacità ed induzione, quando $a$ e $b$ sono da soli , siano $l,\, n, \,m$ .

Calcoliamo l'effetto di un condensatore sui coefficienti dell'altro.

Siano

$D = LN - M^2 ; \, d = ln - m^2$

allora i coefficienti di potenziale di ciascun condensatore sono

$\begin{array}{l} p_{AA} = D^{ - 1}N \begin{array}{*{20}c} {} & , & {} \\ \end{array}p_{aa} = d^{ - 1}n \\ p_{AB} = - D^{ - 1}M \begin{array}{*{20}c} {} & , & {} \\ \end{array}p_{ab} = - d^{ - 1}m \\ p_{BB} = D^{ - 1} \begin{array}{*{20}c} L & , & {} \\ \end{array}p_{bb} = d^{ - 1}l \\ \end{array}$

I valori di questi coefficienti non sono sensibilmente alterati se i due condensatori sono a distanza $R$ .

Il coefficiente di potenziale di ogni coppia di conduttori a distanza $R$ è $R - 1$ .

p A a = p A b = p B a = p B b = R - 1

Le equazioni di potenziale sono perciò

$\begin{array}{l} V_A = D^{ - 1} Ne_A - D^{ - 1} Me_B + R^{ - 1} e_a + R^{ - 1} e_b \\ V_B = D^{ - 1} Me_A - D^{ - 1} Le_B + R^{ - 1} e_a + R^{ - 1} e_b \\ V_a = R^{ - 1} e_A + R^{ - 1} e_B + d^{ - 1} ne_a - d^{ - 1} me_b \\ V_b = R^{ - 1} e_A + R^{ - 1} e_B - d^{ - 1} me_a + d^{ - 1} le_b \\ \end{array}$

Risolvendo le precedenti equazioni rispetto alle cariche otteniamo:

$\begin{array}{l} q_{AA} = L' = L + \frac{{\left( {L + M} \right)^2 \left( {l + 2m + n} \right)}}{{R^2 - \left( {L + 2M + N} \right)\left( {l + 2m + n} \right)}} \\ q_{AB} = M' = M + \frac{{\left( {L + M} \right)\left( {M + N} \right)\left( {l + 2m + n} \right)}}{{R^2 - \left( {L + 2M + N} \right)\left( {l + 2m + n} \right)}} \\ q_{Aa} = - \frac{{R\left( {L + M} \right)\left( {l + m} \right)}}{{R^2 - \left( {L + 2M + N} \right)\left( {l + 2m + n} \right)}} \\ q_{Ab} = - \frac{{R\left( {L + M} \right)\left( {m + n} \right)}}{{R^2 - \left( {L + 2M + N} \right)\left( {l + 2m + n} \right)}} \\ \end{array}$

dove $L', \, M' \, , N'$ sono ciò che diventano $L, \, M \, ,N$ quando il secondo condensatore è introdotto nel campo.

Se un solo conduttore, $a$ , è introdotto nel campo, $m = n = 0$

$\begin{array}{l} q_{AA} = L' = L + \frac{{\left( {L + M} \right)^2 l}}{{R^2 - \left( {L + 2M + N} \right)l}} \\ q_{AB} = M' = M + \frac{{\left( {L + M} \right)\left( {M + N} \right)l}}{{R^2 - \left( {L + 2M + N} \right)l}} \\ q_{Aa} = - \frac{{R\left( {L + M} \right)l}}{{R^2 - \left( {L + 2M + N} \right)l}} \\ \end{array}$

Se ci sono solo due semplici conduttori, $A$ e $a$ ,

$M = N = m = n = 0$ e

$\begin{array}{l} q_{AA} = L' = L + \frac{{L^2 l}}{{R^2 - Ll}} \\ q_{Aa} = - \frac{{RLl}}{{R^2 - Ll}} \\ \end{array}$

espressioni in accordo con quanto trovato in 90.a]

La quantità $L + 2 M + N$ è la totale carica del condensatore quando i suoi elettrodi sono a potenziale 1. Essa non può superare la metà del diametro più grande del condensatore.

L+M è la carica del primo elettrodo ed M+N quella del secondo, quando entrambi sono a potenziale 1. Tali quantità devono essere positive e minori della capacità propria dell'elettrodo.

Quindi le correzioni da applicare ai coefficienti di capacità di un condensatore sono molto minori di quelle relative ad un conduttore di identica capacità.

Approssimazioni di questo tipo sono spesso adatte per stimare la capacità di conduttori di forma irregolare posti a considerevole distanza da altri conduttori.

91.]

Quando un conduttore sferico, $A 3$ , di piccole dimensioni se confrontato con la distanza tra i conduttori, è portato nel campo, i coefficienti di potenziale di $A 1$ ed $A 2$ cresceranno quando $A 3$ è all'interno e diminuiranno quando $A 3$ è all'esterno di una sfera il cui diametro è il segmento di retta che unisce $A 1$ ed $A 2$ .

Se $A 1$ riceve un'unità di carica positiva ci sarà una distribuzione di elettricità su $A 3$ , pari a $+ e$ nella parte più distante da $A 1$ e $- e$ nella parte più vicina. Il potenziale di $A 2$ dovuto a questa distribuzione su $A 3$ , sarà positivo o negativo a seconda che sia più vicino $+ e$ o $- e$ , e se la forma di $A 3$ non è molto allungata dipenderà dall'angolo $A 1 A 3 A 3$ ottuso od acuto, e perciò a secondo che $A 3$ sia interno od esterno alla sfera descritta dal diametro $A 1 A 2$ .

Se $A 3$ è di forma allungata, è facile vedere che se il suo asse maggiore è posizionato secondo la tangente alla circonferenza individuata da $A 1, A 2, A 3$ esso può aumentare il potenziale di $A 2$ , ogni volta che esso è interamente esterno alla sfera, mentre può diminuirlo quando è interamente all'interno. Ma tali affermazioni devono essere intese solo per una stima approssimata dei fenomeni che ci si deve aspettare in una data configurazione di dispositivi.

92.]

Se un nuovo conduttore $A 3$ è introdotto nel campo, la capacità di tutti gli altri conduttori già presenti, sarà accresciuta ed il valore numerico dei coefficienti di induzione tra ogni coppia di essi, sarà diminuito.

Supponiamo che $A 1$ sia a potenziale unitario e che tutto il resto sia a potenziale zero. Finché la carica del nuovo conduttore è negativa essa indurrà una carica positiva in tutti gli altri conduttori e perciò accrescerà la carica positiva di $A 1$ e diminuirà la carica negativa di ogni altro conduttore.

Riferimento

[1] TREATISE ON ELECTRICITY AND MAGNETISM, Volume 1 Di James Clerk Maxwell

TREATISE ON ELECTRICITY AND MAGNETISM

Theory of systems of conductors

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Coefficienti di potenziale e di induzione secondo J.C. Maxwell

Indice

Abstract

[87] Teoria di un sistema di conduttori

Coefficienti di potenziale e di induzione

[88] Dimensioni dei coefficienti

[89] Condizioni cui i coefficienti devono soddisfare

89.a]

89 b.]

89 c.]

89 d.]

89 e.]

90.a]

90.b]

91.]

92.]

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